Kalkulus Contoh

$2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$

Langkah 1

Tulis $2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$ sebagai fungsi.

$f (θ) = 2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$

Langkah 2

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d θ} [2 \cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$ .

$\frac{d}{d θ} [2 \cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d θ} [2 \cos (θ)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $θ$ , turunan dari $2 \cos (θ)$ terhadap $θ$ adalah $2 \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$ .

$2 \frac{d}{d θ} [\cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$

Langkah 2.2.2

Turunan dari $\cos (θ)$ terhadap $θ$ adalah $- \sin (θ)$ .

$2 (- \sin (θ)) + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$

Langkah 2.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- 2 \sin (θ) + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ adalah $f' (g (θ)) g' (θ)$ di mana $f (θ) = θ^{2}$ dan $g (θ) = \cos (θ)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\cos (θ)$ .

$- 2 \sin (θ) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

Langkah 2.3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$- 2 \sin (θ) + 2 u \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

Langkah 2.3.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\cos (θ)$ .

$- 2 \sin (θ) + 2 \cos (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

Langkah 2.3.2

Turunan dari $\cos (θ)$ terhadap $θ$ adalah $- \sin (θ)$ .

$- 2 \sin (θ) + 2 \cos (θ) (- \sin (θ))$

Langkah 2.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- 2 \sin (θ) - 2 \cos (θ) \sin (θ)$

Langkah 2.4

Susun kembali suku-suku.

$- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$

Langkah 3

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d θ} [- 2 \cos (θ) \sin (θ)] + \frac{d}{d θ} [- 2 \sin (θ)]$ .

$f'' (θ) = \frac{d}{d θ} (- 2 \cos (θ) \sin (θ)) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Langkah 3.2

Evaluasi $\frac{d}{d θ} [- 2 \cos (θ) \sin (θ)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $θ$ , turunan dari $- 2 \cos (θ) \sin (θ)$ terhadap $θ$ adalah $- 2 \frac{d}{d θ} [\cos (θ) \sin (θ)]$ .

$f'' (θ) = - 2 \frac{d}{d θ} (\cos (θ) \sin (θ)) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ adalah $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ di mana $f (θ) = \cos (θ)$ dan $g (θ) = \sin (θ)$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos (θ) \frac{d}{d θ} (\sin (θ)) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} (\cos (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Langkah 3.2.3

Turunan dari $\sin (θ)$ terhadap $θ$ adalah $\cos (θ)$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} (\cos (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Langkah 3.2.4

Turunan dari $\cos (θ)$ terhadap $θ$ adalah $- \sin (θ)$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Langkah 3.2.5

Naikkan $\cos (θ)$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Langkah 3.2.6

Naikkan $\cos (θ)$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Langkah 3.2.7

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (θ) = - 2 ({\cos (θ)}^{1 + 1} + \sin (θ) (- \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Langkah 3.2.8

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos^{2} (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Langkah 3.2.9

Naikkan $\sin (θ)$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos^{2} (θ) - (\sin (θ) \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Langkah 3.2.10

Naikkan $\sin (θ)$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos^{2} (θ) - (\sin (θ) \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Langkah 3.2.11

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (θ) = - 2 (\cos^{2} (θ) - {\sin (θ)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Langkah 3.2.12

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Langkah 3.3

Evaluasi $\frac{d}{d θ} [- 2 \sin (θ)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $θ$ , turunan dari $- 2 \sin (θ)$ terhadap $θ$ adalah $- 2 \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)) - 2 \frac{d}{d θ} \sin (θ)$

Langkah 3.3.2

Turunan dari $\sin (θ)$ terhadap $θ$ adalah $\cos (θ)$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)) - 2 \cos (θ)$

Langkah 3.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Terapkan sifat distributif.

$f'' (θ) = - 2 \cos^{2} (θ) - 2 (- \sin^{2} (θ)) - 2 \cos (θ)$

Langkah 3.4.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$f'' (θ) = - 2 \cos^{2} (θ) + 2 \sin^{2} (θ) - 2 \cos (θ)$

Langkah 4

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ) = 0$

Langkah 5

Faktorkan $2 \sin (θ)$ dari $- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Faktorkan $2 \sin (θ)$ dari $- 2 \cos (θ) \sin (θ)$ .

$2 \sin (θ) (- \cos (θ)) - 2 \sin (θ) = 0$

Langkah 5.2

Faktorkan $2 \sin (θ)$ dari $- 2 \sin (θ)$ .

$2 \sin (θ) (- \cos (θ)) + 2 \sin (θ) \cdot - 1 = 0$

Langkah 5.3

Faktorkan $2 \sin (θ)$ dari $2 \sin (θ) (- \cos (θ)) + 2 \sin (θ) \cdot - 1$ .

$2 \sin (θ) (- \cos (θ) - 1) = 0$

Langkah 6

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$\sin (θ) = 0$

$- \cos (θ) - 1 = 0$

Langkah 7

Atur $\sin (θ)$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $θ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Atur $\sin (θ)$ sama dengan $0$ .

$\sin (θ) = 0$

Langkah 7.2

Selesaikan $\sin (θ) = 0$ untuk $θ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $θ$ dari dalam sinus.

$θ = \arcsin (0)$

Langkah 7.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Nilai eksak dari $\arcsin (0)$ adalah $0$ .

$θ = 0$

Langkah 7.2.3

Fungsi sinus positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $π$ untuk menemukan penyelesaian di kuadran kedua.

$θ = π - 0$

Langkah 7.2.4

Kurangi $0$ dengan $π$ .

$θ = π$

Langkah 7.2.5

Penyelesaian untuk persamaan $θ = 0$ .

$θ = 0, π$

Langkah 8

Atur $- \cos (θ) - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $θ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Atur $- \cos (θ) - 1$ sama dengan $0$ .

$- \cos (θ) - 1 = 0$

Langkah 8.2

Selesaikan $- \cos (θ) - 1 = 0$ untuk $θ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$- \cos (θ) = 1$

Langkah 8.2.2

Bagi setiap suku pada $- \cos (θ) = 1$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1

Bagilah setiap suku di $- \cos (θ) = 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{- \cos (θ)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Langkah 8.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{\cos (θ)}{1} = \frac{1}{- 1}$

Langkah 8.2.2.2.2

Bagilah $\cos (θ)$ dengan $1$ .

$\cos (θ) = \frac{1}{- 1}$

Langkah 8.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.3.1

Bagilah $1$ dengan $- 1$ .

$\cos (θ) = - 1$

Langkah 8.2.3

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $θ$ dari dalam kosinus.

$θ = \arccos (- 1)$

Langkah 8.2.4

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.4.1

Nilai eksak dari $\arccos (- 1)$ adalah $π$ .

$θ = π$

Langkah 8.2.5

Fungsi kosinus negatif di kuadran kedua dan ketiga. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menghitung penyelesaian di kuadran ketiga.

$θ = 2 π - π$

Langkah 8.2.6

Kurangi $π$ dengan $2 π$ .

$θ = π$

Langkah 8.2.7

Penyelesaian untuk persamaan $θ = π$ .

$θ = π, π$

Langkah 9

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $2 \sin (θ) (- \cos (θ) - 1) = 0$ benar.

$θ = 0, π$

Langkah 10

Evaluasi turunan kedua pada $θ = 0$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- 2 \cos^{2} (0) + 2 \sin^{2} (0) - 2 \cos (0)$

Langkah 11

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.1

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$- 2 \cdot 1^{2} + 2 \sin^{2} (0) - 2 \cos (0)$

Langkah 11.1.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$- 2 \cdot 1 + 2 \sin^{2} (0) - 2 \cos (0)$

Langkah 11.1.3

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$- 2 + 2 \sin^{2} (0) - 2 \cos (0)$

Langkah 11.1.4

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$- 2 + 2 \cdot 0^{2} - 2 \cos (0)$

Langkah 11.1.5

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$- 2 + 2 \cdot 0 - 2 \cos (0)$

Langkah 11.1.6

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$- 2 + 0 - 2 \cos (0)$

Langkah 11.1.7

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$- 2 + 0 - 2 \cdot 1$

Langkah 11.1.8

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$- 2 + 0 - 2$

Langkah 11.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Tambahkan $- 2$ dan $0$ .

$- 2 - 2$

Langkah 11.2.2

Kurangi $2$ dengan $- 2$ .

$- 4$

Langkah 12

$θ = 0$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$θ = 0$ adalah maksimum lokal

Langkah 13

Tentukan nilai y ketika $θ = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Ganti variabel $θ$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f (0) = 2 \cos (0) + \cos^{2} (0)$

Langkah 13.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1.1

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$f (0) = 2 \cdot 1 + \cos^{2} (0)$

Langkah 13.2.1.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f (0) = 2 + \cos^{2} (0)$

Langkah 13.2.1.3

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$f (0) = 2 + 1^{2}$

Langkah 13.2.1.4

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f (0) = 2 + 1$

Langkah 13.2.2

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$f (0) = 3$

Langkah 13.2.3

Jawaban akhirnya adalah $3$ .

$y = 3$

Langkah 14

Evaluasi turunan kedua pada $θ = π$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- 2 \cos^{2} (π) + 2 \sin^{2} (π) - 2 \cos (π)$

Langkah 15

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$- 2 {(- \cos (0))}^{2} + 2 \sin^{2} (π) - 2 \cos (π)$

Langkah 15.1.2

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$- 2 {(- 1 \cdot 1)}^{2} + 2 \sin^{2} (π) - 2 \cos (π)$

Langkah 15.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 2 {(- 1)}^{2} + 2 \sin^{2} (π) - 2 \cos (π)$

Langkah 15.1.4

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$- 2 \cdot 1 + 2 \sin^{2} (π) - 2 \cos (π)$

Langkah 15.1.5

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$- 2 + 2 \sin^{2} (π) - 2 \cos (π)$

Langkah 15.1.6

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$- 2 + 2 \sin^{2} (0) - 2 \cos (π)$

Langkah 15.1.7

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$- 2 + 2 \cdot 0^{2} - 2 \cos (π)$

Langkah 15.1.8

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$- 2 + 2 \cdot 0 - 2 \cos (π)$

Langkah 15.1.9

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$- 2 + 0 - 2 \cos (π)$

Langkah 15.1.10

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$- 2 + 0 - 2 (- \cos (0))$

Langkah 15.1.11

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$- 2 + 0 - 2 (- 1 \cdot 1)$

Langkah 15.1.12

Kalikan $- 2 (- 1 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1.12.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 2 + 0 - 2 \cdot - 1$

Langkah 15.1.12.2

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$- 2 + 0 + 2$

Langkah 15.2

Sederhanakan dengan menambahkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1

Tambahkan $- 2$ dan $0$ .

$- 2 + 2$

Langkah 15.2.2

Tambahkan $- 2$ dan $2$ .

$0$

Langkah 16

Karena setidaknya ada satu titik di $0$ atau turunan kedua yang tidak terdefinisikan, lakukan uji turunan pertama.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Bagi $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $θ$ yang membuat turunan pertamanya $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, 0) \cup (0, π) \cup (π, \infty)$

Langkah 16.2

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $- 2$ , dari interval $(- \infty, 0)$ dalam turunan pertama $- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.2.1

Ganti variabel $θ$ dengan $- 2$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 2) = - 2 \cos (- 2) \sin (- 2) - 2 \sin (- 2)$

Langkah 16.2.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.2.2.1.1

Evaluasi $\cos (- 2)$ .

$f' (- 2) = - 2 \cdot (- 0.41614683 \sin (- 2)) - 2 \sin (- 2)$

Langkah 16.2.2.1.2

Kalikan $- 2$ dengan $- 0.41614683$ .

$f' (- 2) = 0.83229367 \sin (- 2) - 2 \sin (- 2)$

Langkah 16.2.2.1.3

Evaluasi $\sin (- 2)$ .

$f' (- 2) = 0.83229367 \cdot - 0.90929742 - 2 \sin (- 2)$

Langkah 16.2.2.1.4

Kalikan $0.83229367$ dengan $- 0.90929742$ .

$f' (- 2) = - 0.75680249 - 2 \sin (- 2)$

Langkah 16.2.2.1.5

Evaluasi $\sin (- 2)$ .

$f' (- 2) = - 0.75680249 - 2 \cdot - 0.90929742$

Langkah 16.2.2.1.6

Kalikan $- 2$ dengan $- 0.90929742$ .

$f' (- 2) = - 0.75680249 + 1.81859485$

Langkah 16.2.2.2

Tambahkan $- 0.75680249$ dan $1.81859485$ .

$f' (- 2) = 1.06179235$

Langkah 16.2.2.3

Jawaban akhirnya adalah $1.06179235$ .

$1.06179235$

Langkah 16.3

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $2$ , dari interval $(0, π)$ dalam turunan pertama $- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.3.1

Ganti variabel $θ$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$f' (2) = - 2 \cos (2) \sin (2) - 2 \sin (2)$

Langkah 16.3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.3.2.1.1

Evaluasi $\cos (2)$ .

$f' (2) = - 2 \cdot (- 0.41614683 \sin (2)) - 2 \sin (2)$

Langkah 16.3.2.1.2

Kalikan $- 2$ dengan $- 0.41614683$ .

$f' (2) = 0.83229367 \sin (2) - 2 \sin (2)$

Langkah 16.3.2.1.3

Evaluasi $\sin (2)$ .

$f' (2) = 0.83229367 \cdot 0.90929742 - 2 \sin (2)$

Langkah 16.3.2.1.4

Kalikan $0.83229367$ dengan $0.90929742$ .

$f' (2) = 0.75680249 - 2 \sin (2)$

Langkah 16.3.2.1.5

Evaluasi $\sin (2)$ .

$f' (2) = 0.75680249 - 2 \cdot 0.90929742$

Langkah 16.3.2.1.6

Kalikan $- 2$ dengan $0.90929742$ .

$f' (2) = 0.75680249 - 1.81859485$

Langkah 16.3.2.2

Kurangi $1.81859485$ dengan $0.75680249$ .

$f' (2) = - 1.06179235$

Langkah 16.3.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 1.06179235$ .

$- 1.06179235$

Langkah 16.4

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $6$ , dari interval $(π, \infty)$ dalam turunan pertama $- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.4.1

Ganti variabel $θ$ dengan $6$ pada pernyataan tersebut.

$f' (6) = - 2 \cos (6) \sin (6) - 2 \sin (6)$

Langkah 16.4.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.4.2.1.1

Evaluasi $\cos (6)$ .

$f' (6) = - 2 \cdot (0.96017028 \sin (6)) - 2 \sin (6)$

Langkah 16.4.2.1.2

Kalikan $- 2$ dengan $0.96017028$ .

$f' (6) = - 1.92034057 \sin (6) - 2 \sin (6)$

Langkah 16.4.2.1.3

Evaluasi $\sin (6)$ .

$f' (6) = - 1.92034057 \cdot - 0.27941549 - 2 \sin (6)$

Langkah 16.4.2.1.4

Kalikan $- 1.92034057$ dengan $- 0.27941549$ .

$f' (6) = 0.53657291 - 2 \sin (6)$

Langkah 16.4.2.1.5

Evaluasi $\sin (6)$ .

$f' (6) = 0.53657291 - 2 \cdot - 0.27941549$

Langkah 16.4.2.1.6

Kalikan $- 2$ dengan $- 0.27941549$ .

$f' (6) = 0.53657291 + 0.55883099$

Langkah 16.4.2.2

Tambahkan $0.53657291$ dan $0.55883099$ .

$f' (6) = 1.09540391$

Langkah 16.4.2.3

Jawaban akhirnya adalah $1.09540391$ .

$1.09540391$

Langkah 16.5

Karena turunan pertamanya diubah tandanya dari positif menjadi negatif di sekitar $θ = 0$ , maka $θ = 0$ adalah maksimum lokal.

$θ = 0$ adalah maksimum lokal

Langkah 16.6

Karena turunan pertamanya diubah tandanya dari negatif menjadi positif di sekitar $θ = π$ , maka $θ = π$ adalah minimum lokal.

$θ = π$ adalah minimum lokal

Langkah 16.7

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (θ) = 2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$ .

$θ = 0$ adalah maksimum lokal

$θ = π$ adalah minimum lokal

$θ = 0$ adalah maksimum lokal

$θ = π$ adalah minimum lokal

Langkah 17