Kalkulus Contoh

$\frac{d}{d t} (\frac{t^{2} + 1}{t^{2} - 1})$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ adalah $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ di mana $f (t) = t^{2} + 1$ dan $g (t) = t^{2} - 1$ .

$\frac{(t^{2} - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 1] - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2} - 1]}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $t^{2} + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{(t^{2} - 1) (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2} - 1]}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{(t^{2} - 1) (2 t + \frac{d}{d t} [1]) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2} - 1]}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 2.3

Karena $1$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $1$ terhadap $t$ adalah $0$ .

$\frac{(t^{2} - 1) (2 t + 0) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2} - 1]}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 2.4

Tambahkan $2 t$ dan $0$ .

$\frac{(t^{2} - 1) (2 t) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2} - 1]}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 2.5

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $t^{2} - 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{(t^{2} - 1) (2 t) - (t^{2} + 1) (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1])}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 2.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{(t^{2} - 1) (2 t) - (t^{2} + 1) (2 t + \frac{d}{d t} [- 1])}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 2.7

Karena $- 1$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $- 1$ terhadap $t$ adalah $0$ .

$\frac{(t^{2} - 1) (2 t) - (t^{2} + 1) (2 t + 0)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 2.8

Tambahkan $2 t$ dan $0$ .

$\frac{(t^{2} - 1) (2 t) - (t^{2} + 1) (2 t)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{t^{2} (2 t) - 1 (2 t) - (t^{2} + 1) (2 t)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 3.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{t^{2} (2 t) - 1 (2 t) + (- t^{2} - 1 \cdot 1) (2 t)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 3.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{t^{2} (2 t) - 1 (2 t) - t^{2} (2 t) - 1 \cdot 1 (2 t)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 3.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{2 t^{2} t - 1 (2 t) - t^{2} (2 t) - 1 \cdot 1 (2 t)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 3.4.1.2

Kalikan $t^{2}$ dengan $t$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.2.1

Pindahkan $t$ .

$\frac{2 (t \cdot t^{2}) - 1 (2 t) - t^{2} (2 t) - 1 \cdot 1 (2 t)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 3.4.1.2.2

Kalikan $t$ dengan $t^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.2.2.1

Naikkan $t$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{2 (t^{1} t^{2}) - 1 (2 t) - t^{2} (2 t) - 1 \cdot 1 (2 t)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 3.4.1.2.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{2 t^{1 + 2} - 1 (2 t) - t^{2} (2 t) - 1 \cdot 1 (2 t)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 3.4.1.2.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{2 t^{3} - 1 (2 t) - t^{2} (2 t) - 1 \cdot 1 (2 t)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 3.4.1.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{2 t^{3} - 2 t - t^{2} (2 t) - 1 \cdot 1 (2 t)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 3.4.1.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{2 t^{3} - 2 t - 1 \cdot 2 t^{2} t - 1 \cdot 1 (2 t)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 3.4.1.5

Kalikan $t^{2}$ dengan $t$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.5.1

Pindahkan $t$ .

$\frac{2 t^{3} - 2 t - 1 \cdot 2 (t \cdot t^{2}) - 1 \cdot 1 (2 t)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 3.4.1.5.2

Kalikan $t$ dengan $t^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.5.2.1

Naikkan $t$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{2 t^{3} - 2 t - 1 \cdot 2 (t^{1} t^{2}) - 1 \cdot 1 (2 t)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 3.4.1.5.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{2 t^{3} - 2 t - 1 \cdot 2 t^{1 + 2} - 1 \cdot 1 (2 t)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 3.4.1.5.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{2 t^{3} - 2 t - 1 \cdot 2 t^{3} - 1 \cdot 1 (2 t)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 3.4.1.6

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{2 t^{3} - 2 t - 2 t^{3} - 1 \cdot 1 (2 t)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 3.4.1.7

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{2 t^{3} - 2 t - 2 t^{3} - 1 (2 t)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 3.4.1.8

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{2 t^{3} - 2 t - 2 t^{3} - 2 t}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 3.4.2

Gabungkan suku balikan dalam $2 t^{3} - 2 t - 2 t^{3} - 2 t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Kurangi $2 t^{3}$ dengan $2 t^{3}$ .

$\frac{- 2 t + 0 - 2 t}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 3.4.2.2

Tambahkan $- 2 t$ dan $0$ .

$\frac{- 2 t - 2 t}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 3.4.3

Kurangi $2 t$ dengan $- 2 t$ .

$\frac{- 4 t}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 3.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{4 t}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 3.6

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$- \frac{4 t}{{(t^{2} - 1^{2})}^{2}}$

Langkah 3.6.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = t$ dan $b = 1$ .

$- \frac{4 t}{{((t + 1) (t - 1))}^{2}}$

Langkah 3.6.3

Terapkan kaidah hasil kali ke $(t + 1) (t - 1)$ .

$- \frac{4 t}{{(t + 1)}^{2} {(t - 1)}^{2}}$