Kalkulus Contoh

$2 x^{2} - 16 \ln (x)$

Langkah 1

Tulis $2 x^{2} - 16 \ln (x)$ sebagai fungsi.

$f (x) = 2 x^{2} - 16 \ln (x)$

Langkah 2

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x^{2} - 16 \ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 \ln (x)]$

Langkah 2.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 \ln (x)]$

Langkah 2.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 16 \ln (x)]$

Langkah 2.1.2.3

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- 16 \ln (x)]$

Langkah 2.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 16 \ln (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Karena $- 16$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 16 \ln (x)$ terhadap $x$ adalah $- 16 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$4 x - 16 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Langkah 2.1.3.2

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$4 x - 16 \frac{1}{x}$

Langkah 2.1.3.3

Gabungkan $- 16$ dan $\frac{1}{x}$ .

$4 x + \frac{- 16}{x}$

Langkah 2.1.3.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (x) = 4 x - \frac{16}{x}$

Langkah 2.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $4 x - \frac{16}{x}$ .

$4 x - \frac{16}{x}$

Langkah 3

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $4 x - \frac{16}{x} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$4 x - \frac{16}{x} = 0$

Langkah 3.2

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$1, x, 1$

Langkah 3.2.2

KPK dari satu dan pernyataan apa pun adalah pernyataan itu sendiri.

$x$

Langkah 3.3

Kalikan setiap suku pada $4 x - \frac{16}{x} = 0$ dengan $x$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Kalikan setiap suku dalam $4 x - \frac{16}{x} = 0$ dengan $x$ .

$4 x \cdot x - \frac{16}{x} x = 0 x$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1.1

Pindahkan $x$ .

$4 (x \cdot x) - \frac{16}{x} x = 0 x$

Langkah 3.3.2.1.1.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$4 x^{2} - \frac{16}{x} x = 0 x$

Langkah 3.3.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{16}{x}$ ke dalam pembilangnya.

$4 x^{2} + \frac{- 16}{x} x = 0 x$

Langkah 3.3.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$4 x^{2} + \frac{- 16}{x} x = 0 x$

Langkah 3.3.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$4 x^{2} - 16 = 0 x$

Langkah 3.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Kalikan $0$ dengan $x$ .

$4 x^{2} - 16 = 0$

Langkah 3.4

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Tambahkan $16$ ke kedua sisi persamaan.

$4 x^{2} = 16$

Langkah 3.4.2

Bagi setiap suku pada $4 x^{2} = 16$ dengan $4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Bagilah setiap suku di $4 x^{2} = 16$ dengan $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{16}{4}$

Langkah 3.4.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{16}{4}$

Langkah 3.4.2.2.1.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} = \frac{16}{4}$

Langkah 3.4.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.3.1

Bagilah $16$ dengan $4$ .

$x^{2} = 4$

Langkah 3.4.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{4}$

Langkah 3.4.4

Sederhanakan $\pm \sqrt{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Langkah 3.4.4.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm 2$

Langkah 3.4.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = 2$

Langkah 3.4.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - 2$

Langkah 3.4.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = 2, - 2$

Langkah 4

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $2, - 2$ .

$2, - 2$

Langkah 5

Atur penyebut dalam $\frac{16}{x}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x = 0$

Langkah 6

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang menjadikan turunan $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Langkah 7

Kecualikan interval-intervalnya yang tidak ada di dalam domainnya.

Langkah 8

Substitusikan nilai dari interval $(- 2, 0)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 1) = 4 (- 1) - \frac{16}{- 1}$

Langkah 8.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$f' (- 1) = - 4 - \frac{16}{- 1}$

Langkah 8.2.1.2

Bagilah $16$ dengan $- 1$ .

$f' (- 1) = - 4 + 16$

Langkah 8.2.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 16$ .

$f' (- 1) = - 4 + 16$

Langkah 8.2.2

Tambahkan $- 4$ dan $16$ .

$f' (- 1) = 12$

Langkah 8.2.3

Jawaban akhirnya adalah $12$ .

$12$

Langkah 9

Kecualikan interval-intervalnya yang tidak ada di dalam domainnya.

$(0, 2)$

Langkah 10

Substitusikan nilai dari interval $(0, 2)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (1) = 4 (1) - \frac{16}{1}$

Langkah 10.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1.1

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$f' (1) = 4 - \frac{16}{1}$

Langkah 10.2.1.2

Bagilah $16$ dengan $1$ .

$f' (1) = 4 - 1 \cdot 16$

Langkah 10.2.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $16$ .

$f' (1) = 4 - 16$

Langkah 10.2.2

Kurangi $16$ dengan $4$ .

$f' (1) = - 12$

Langkah 10.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 12$ .

$- 12$

Langkah 10.3

Pada $x = 1$ , turunannya adalah $- 12$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(0, 2)$ .

Menurun pada $(0, 2)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 11

Kecualikan interval-intervalnya yang tidak ada di dalam domainnya.

$(0, 2), (2, \infty)$

Langkah 12

Substitusikan nilai dari interval $(2, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Ganti variabel $x$ dengan $3$ pada pernyataan tersebut.

$f' (3) = 4 (3) - \frac{16}{3}$

Langkah 12.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Kalikan $4$ dengan $3$ .

$f' (3) = 12 - \frac{16}{3}$

Langkah 12.2.2

Untuk menuliskan $12$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$f' (3) = 12 \cdot \frac{3}{3} - \frac{16}{3}$

Langkah 12.2.3

Gabungkan $12$ dan $\frac{3}{3}$ .

$f' (3) = \frac{12 \cdot 3}{3} - \frac{16}{3}$

Langkah 12.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (3) = \frac{12 \cdot 3 - 16}{3}$

Langkah 12.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.5.1

Kalikan $12$ dengan $3$ .

$f' (3) = \frac{36 - 16}{3}$

Langkah 12.2.5.2

Kurangi $16$ dengan $36$ .

$f' (3) = \frac{20}{3}$

Langkah 12.2.6

Jawaban akhirnya adalah $\frac{20}{3}$ .

$\frac{20}{3}$

Langkah 12.3

Pada $x = 3$ , turunannya adalah $\frac{20}{3}$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(2, \infty)$ .

Meningkat pada $(2, \infty)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 13

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(2, \infty)$

Menurun pada: $(0, 2)$

Langkah 14