Kalkulus Contoh

$10 x + 10 \cos (x)$

Langkah 1

Tulis $10 x + 10 \cos (x)$ sebagai fungsi.

$f (x) = 10 x + 10 \cos (x)$

Langkah 2

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $10 x + 10 \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [10 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [10 \cos (x)]$

Langkah 2.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Karena $10$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $10 x$ terhadap $x$ adalah $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10 \cos (x)]$

Langkah 2.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [10 \cos (x)]$

Langkah 2.1.2.3

Kalikan $10$ dengan $1$ .

$10 + \frac{d}{d x} [10 \cos (x)]$

Langkah 2.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [10 \cos (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Karena $10$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $10 \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $10 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$10 + 10 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Langkah 2.1.3.2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$10 + 10 (- \sin (x))$

Langkah 2.1.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $10$ .

$f' (x) = 10 - 10 \sin (x)$

Langkah 2.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $10 - 10 \sin (x)$ .

$10 - 10 \sin (x)$

Langkah 3

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $10 - 10 \sin (x) = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$10 - 10 \sin (x) = 0$

Langkah 3.2

Kurangkan $10$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 10 \sin (x) = - 10$

Langkah 3.3

Bagi setiap suku pada $- 10 \sin (x) = - 10$ dengan $- 10$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Bagilah setiap suku di $- 10 \sin (x) = - 10$ dengan $- 10$ .

$\frac{- 10 \sin (x)}{- 10} = \frac{- 10}{- 10}$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 10$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 10 \sin (x)}{- 10} = \frac{- 10}{- 10}$

Langkah 3.3.2.1.2

Bagilah $\sin (x)$ dengan $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 10}{- 10}$

Langkah 3.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Bagilah $- 10$ dengan $- 10$ .

$\sin (x) = 1$

Langkah 3.4

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$x = \arcsin (1)$

Langkah 3.5

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Nilai eksak dari $\arcsin (1)$ adalah $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Langkah 3.6

Fungsi sinus positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $π$ untuk menemukan penyelesaian di kuadran kedua.

$x = π - \frac{π}{2}$

Langkah 3.7

Sederhanakan $π - \frac{π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Untuk menuliskan $π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 3.7.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.2.1

Gabungkan $π$ dan $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 3.7.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Langkah 3.7.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.3.1

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Langkah 3.7.3.2

Kurangi $π$ dengan $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Langkah 3.8

Tentukan periode dari $\sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 3.8.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 3.8.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 3.8.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 3.9

Periode dari fungsi $\sin (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 4

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $\frac{π}{2} + 2 π n$ .

$\frac{π}{2} + 2 π n$

Langkah 5

Setelah mencari titik yang membuat turunan $f' (x) = 10 - 10 \sin (x)$ sama dengan $0$ atau tidak terdefinisi, interval untuk memeriksa di mana $f (x) = 10 x + 10 \cos (x)$ meningkat dan di mana menurun yaitu $(- \infty, \frac{π}{2} + 2 π n) \cup (\frac{π}{2} + 2 π n, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{π}{2} + 2 π n) \cup (\frac{π}{2} + 2 π n, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, \frac{π}{2} + 2 π n)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{π}{2} + 2 π n - 1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (\frac{π}{2} + 2 π n - 1) = 10 - 10 \sin (\frac{π}{2} + 2 π n - 1)$

Langkah 6.2

Jawaban akhirnya adalah $10 - 10 \sin (\frac{π}{2} + 2 π n - 1)$ .

$10 - 10 \sin (\frac{π}{2} + 2 π n - 1)$

Langkah 6.3

Sederhanakan.

$10 - 10 \sin (\frac{π}{2} + 2 π n - 1)$

Langkah 6.4

Pada $x = \frac{π}{2} + 2 π n - 1$ , turunannya adalah $10 - 10 \sin (\frac{π}{2} + 2 π n - 1)$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- \infty, \frac{π}{2} + 2 π n)$ .

Menurun pada $(- \infty, \frac{π}{2} + 2 π n)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(\frac{π}{2} + 2 π n, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{π}{2} + 2 π n + 1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (\frac{π}{2} + 2 π n + 1) = 10 - 10 \sin (\frac{π}{2} + 2 π n + 1)$

Langkah 7.2

Jawaban akhirnya adalah $10 - 10 \sin (\frac{π}{2} + 2 π n + 1)$ .

$10 - 10 \sin (\frac{π}{2} + 2 π n + 1)$

Langkah 7.3

Sederhanakan.

$10 - 10 \sin (\frac{π}{2} + 2 π n + 1)$

Langkah 7.4

Pada $x = \frac{π}{2} + 2 π n + 1$ , turunannya adalah $10 - 10 \sin (\frac{π}{2} + 2 π n + 1)$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(\frac{π}{2} + 2 π n, \infty)$ .

Menurun pada $(\frac{π}{2} + 2 π n, \infty)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 8

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Menurun pada: $(- \infty, \frac{π}{2} + 2 π n), (\frac{π}{2} + 2 π n, \infty)$

Langkah 9