Kalkulus Contoh

$0.05 x + 15 + \frac{500}{x}$

Langkah 1

Tulis $0.05 x + 15 + \frac{500}{x}$ sebagai fungsi.

$f (x) = 0.05 x + 15 + \frac{500}{x}$

Langkah 2

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $0.05 x + 15 + \frac{500}{x}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [0.05 x] + \frac{d}{d x} [15] + \frac{d}{d x} [\frac{500}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [0.05 x] + \frac{d}{d x} [15] + \frac{d}{d x} [\frac{500}{x}]$

Langkah 2.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [0.05 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Karena $0.05$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $0.05 x$ terhadap $x$ adalah $0.05 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0.05 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [15] + \frac{d}{d x} [\frac{500}{x}]$

Langkah 2.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$0.05 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [15] + \frac{d}{d x} [\frac{500}{x}]$

Langkah 2.1.2.3

Kalikan $0.05$ dengan $1$ .

$0.05 + \frac{d}{d x} [15] + \frac{d}{d x} [\frac{500}{x}]$

Langkah 2.1.3

Karena $15$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $15$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0.05 + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{500}{x}]$

Langkah 2.1.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{500}{x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.1

Karena $500$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{500}{x}$ terhadap $x$ adalah $500 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$0.05 + 0 + 500 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Langkah 2.1.4.2

Tulis kembali $\frac{1}{x}$ sebagai $x^{- 1}$ .

$0.05 + 0 + 500 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Langkah 2.1.4.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$0.05 + 0 + 500 (- x^{- 2})$

Langkah 2.1.4.4

Kalikan $- 1$ dengan $500$ .

$0.05 + 0 - 500 x^{- 2}$

Langkah 2.1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.5.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0.05 + 0 - 500 \frac{1}{x^{2}}$

Langkah 2.1.5.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.5.2.1

Tambahkan $0.05$ dan $0$ .

$0.05 - 500 \frac{1}{x^{2}}$

Langkah 2.1.5.2.2

Gabungkan $- 500$ dan $\frac{1}{x^{2}}$ .

$0.05 + \frac{- 500}{x^{2}}$

Langkah 2.1.5.2.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$0.05 - \frac{500}{x^{2}}$

Langkah 2.1.5.3

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = - \frac{500}{x^{2}} + 0.05$

Langkah 2.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{500}{x^{2}} + 0.05$ .

$- \frac{500}{x^{2}} + 0.05$

Langkah 3

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- \frac{500}{x^{2}} + 0.05 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$- \frac{500}{x^{2}} + 0.05 = 0$

Langkah 3.2

Kurangkan $0.05$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- \frac{500}{x^{2}} = - 0.05$

Langkah 3.3

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$x^{2}, 1$

Langkah 3.3.2

KPK dari satu dan pernyataan apa pun adalah pernyataan itu sendiri.

$x^{2}$

Langkah 3.4

Kalikan setiap suku pada $- \frac{500}{x^{2}} = - 0.05$ dengan $x^{2}$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Kalikan setiap suku dalam $- \frac{500}{x^{2}} = - 0.05$ dengan $x^{2}$ .

$- \frac{500}{x^{2}} x^{2} = - 0.05 x^{2}$

Langkah 3.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{500}{x^{2}}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{- 500}{x^{2}} x^{2} = - 0.05 x^{2}$

Langkah 3.4.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 500}{x^{2}} x^{2} = - 0.05 x^{2}$

Langkah 3.4.2.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 500 = - 0.05 x^{2}$

Langkah 3.5

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $- 0.05 x^{2} = - 500$ .

$- 0.05 x^{2} = - 500$

Langkah 3.5.2

Bagi setiap suku pada $- 0.05 x^{2} = - 500$ dengan $- 0.05$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1

Bagilah setiap suku di $- 0.05 x^{2} = - 500$ dengan $- 0.05$ .

$\frac{- 0.05 x^{2}}{- 0.05} = \frac{- 500}{- 0.05}$

Langkah 3.5.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 0.05$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 0.05 x^{2}}{- 0.05} = \frac{- 500}{- 0.05}$

Langkah 3.5.2.2.1.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} = \frac{- 500}{- 0.05}$

Langkah 3.5.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.3.1

Bagilah $- 500$ dengan $- 0.05$ .

$x^{2} = 10000$

Langkah 3.5.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{10000}$

Langkah 3.5.4

Sederhanakan $\pm \sqrt{10000}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.1

Tulis kembali $10000$ sebagai $100^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{100^{2}}$

Langkah 3.5.4.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm 100$

Langkah 3.5.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = 100$

Langkah 3.5.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - 100$

Langkah 3.5.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = 100, - 100$

Langkah 4

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $100, - 100$ .

$100, - 100$

Langkah 5

Tentukan di mana turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Atur penyebut dalam $\frac{500}{x^{2}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x^{2} = 0$

Langkah 5.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{0}$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan $\pm \sqrt{0}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Langkah 5.2.2.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm 0$

Langkah 5.2.2.3

Tambah atau kurang $0$ adalah $0$ .

$x = 0$

Langkah 6

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang menjadikan turunan $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, - 100) \cup (- 100, 0) \cup (0, 100) \cup (100, \infty)$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, - 100)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 101$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 101) = - \frac{500}{{(- 101)}^{2}} + 0.05$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Naikkan $- 101$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 101) = - \frac{500}{10201} + 0.05$

Langkah 7.2.2

Untuk menuliskan $0.05$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{10201}{10201}$ .

$f' (- 101) = - \frac{500}{10201} + 0.05 \cdot \frac{10201}{10201}$

Langkah 7.2.3

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.1

Gabungkan $0.05$ dan $\frac{10201}{10201}$ .

$f' (- 101) = - \frac{500}{10201} + \frac{0.05 \cdot 10201}{10201}$

Langkah 7.2.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (- 101) = \frac{- 500 + 0.05 \cdot 10201}{10201}$

Langkah 7.2.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.4.1

Kalikan $0.05$ dengan $10201$ .

$f' (- 101) = \frac{- 500 + 510.05}{10201}$

Langkah 7.2.4.2

Tambahkan $- 500$ dan $510.05$ .

$f' (- 101) = \frac{10.05}{10201}$

Langkah 7.2.5

Bagilah $10.05$ dengan $10201$ .

$f' (- 101) = 0.00098519$

Langkah 7.2.6

Jawaban akhirnya adalah $0.00098519$ .

$0.00098519$

Langkah 7.3

Pada $x = - 101$ , turunannya adalah $0.00098519$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(- \infty, - 100)$ .

Meningkat pada $(- \infty, - 100)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 8

Substitusikan nilai dari interval $(- 100, 0)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 50$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 50) = - \frac{500}{{(- 50)}^{2}} + 0.05$

Langkah 8.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Naikkan $- 50$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 50) = - \frac{500}{2500} + 0.05$

Langkah 8.2.1.2

Hapus faktor persekutuan dari $500$ dan $2500$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.2.1

Faktorkan $500$ dari $500$ .

$f' (- 50) = - \frac{500 (1)}{2500} + 0.05$

Langkah 8.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.2.2.1

Faktorkan $500$ dari $2500$ .

$f' (- 50) = - \frac{500 \cdot 1}{500 \cdot 5} + 0.05$

Langkah 8.2.1.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (- 50) = - \frac{500 \cdot 1}{500 \cdot 5} + 0.05$

Langkah 8.2.1.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (- 50) = - \frac{1}{5} + 0.05$

Langkah 8.2.2

Untuk menuliskan $0.05$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{5}{5}$ .

$f' (- 50) = - \frac{1}{5} + 0.05 \cdot \frac{5}{5}$

Langkah 8.2.3

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.3.1

Gabungkan $0.05$ dan $\frac{5}{5}$ .

$f' (- 50) = - \frac{1}{5} + \frac{0.05 \cdot 5}{5}$

Langkah 8.2.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (- 50) = \frac{- 1 + 0.05 \cdot 5}{5}$

Langkah 8.2.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.4.1

Kalikan $0.05$ dengan $5$ .

$f' (- 50) = \frac{- 1 + 0.25}{5}$

Langkah 8.2.4.2

Tambahkan $- 1$ dan $0.25$ .

$f' (- 50) = \frac{- 0.75}{5}$

Langkah 8.2.5

Bagilah $- 0.75$ dengan $5$ .

$f' (- 50) = - 0.15$

Langkah 8.2.6

Jawaban akhirnya adalah $- 0.15$ .

$- 0.15$

Langkah 8.3

Pada $x = - 50$ , turunannya adalah $- 0.15$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- 100, 0)$ .

Menurun pada $(- 100, 0)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 9

Substitusikan nilai dari interval $(0, 100)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Ganti variabel $x$ dengan $50$ pada pernyataan tersebut.

$f' (50) = - \frac{500}{{(50)}^{2}} + 0.05$

Langkah 9.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1.1

Naikkan $50$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (50) = - \frac{500}{2500} + 0.05$

Langkah 9.2.1.2

Hapus faktor persekutuan dari $500$ dan $2500$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1.2.1

Faktorkan $500$ dari $500$ .

$f' (50) = - \frac{500 (1)}{2500} + 0.05$

Langkah 9.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1.2.2.1

Faktorkan $500$ dari $2500$ .

$f' (50) = - \frac{500 \cdot 1}{500 \cdot 5} + 0.05$

Langkah 9.2.1.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (50) = - \frac{500 \cdot 1}{500 \cdot 5} + 0.05$

Langkah 9.2.1.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (50) = - \frac{1}{5} + 0.05$

Langkah 9.2.2

Untuk menuliskan $0.05$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{5}{5}$ .

$f' (50) = - \frac{1}{5} + 0.05 \cdot \frac{5}{5}$

Langkah 9.2.3

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.3.1

Gabungkan $0.05$ dan $\frac{5}{5}$ .

$f' (50) = - \frac{1}{5} + \frac{0.05 \cdot 5}{5}$

Langkah 9.2.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (50) = \frac{- 1 + 0.05 \cdot 5}{5}$

Langkah 9.2.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.4.1

Kalikan $0.05$ dengan $5$ .

$f' (50) = \frac{- 1 + 0.25}{5}$

Langkah 9.2.4.2

Tambahkan $- 1$ dan $0.25$ .

$f' (50) = \frac{- 0.75}{5}$

Langkah 9.2.5

Bagilah $- 0.75$ dengan $5$ .

$f' (50) = - 0.15$

Langkah 9.2.6

Jawaban akhirnya adalah $- 0.15$ .

$- 0.15$

Langkah 9.3

Pada $x = 50$ , turunannya adalah $- 0.15$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(0, 100)$ .

Menurun pada $(0, 100)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 10

Substitusikan nilai dari interval $(100, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Ganti variabel $x$ dengan $101$ pada pernyataan tersebut.

$f' (101) = - \frac{500}{{(101)}^{2}} + 0.05$

Langkah 10.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Naikkan $101$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (101) = - \frac{500}{10201} + 0.05$

Langkah 10.2.2

Untuk menuliskan $0.05$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{10201}{10201}$ .

$f' (101) = - \frac{500}{10201} + 0.05 \cdot \frac{10201}{10201}$

Langkah 10.2.3

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.3.1

Gabungkan $0.05$ dan $\frac{10201}{10201}$ .

$f' (101) = - \frac{500}{10201} + \frac{0.05 \cdot 10201}{10201}$

Langkah 10.2.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (101) = \frac{- 500 + 0.05 \cdot 10201}{10201}$

Langkah 10.2.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.4.1

Kalikan $0.05$ dengan $10201$ .

$f' (101) = \frac{- 500 + 510.05}{10201}$

Langkah 10.2.4.2

Tambahkan $- 500$ dan $510.05$ .

$f' (101) = \frac{10.05}{10201}$

Langkah 10.2.5

Bagilah $10.05$ dengan $10201$ .

$f' (101) = 0.00098519$

Langkah 10.2.6

Jawaban akhirnya adalah $0.00098519$ .

$0.00098519$

Langkah 10.3

Pada $x = 101$ , turunannya adalah $0.00098519$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(100, \infty)$ .

Meningkat pada $(100, \infty)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 11

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(- \infty, - 100), (100, \infty)$

Menurun pada: $(- 100, 0), (0, 100)$

Langkah 12