Kalkulus Contoh

$\frac{7 x^{2}}{x^{2} + 36}$

Langkah 1

Tulis $\frac{7 x^{2}}{x^{2} + 36}$ sebagai fungsi.

$f (x) = \frac{7 x^{2}}{x^{2} + 36}$

Langkah 2

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Karena $7$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{7 x^{2}}{x^{2} + 36}$ terhadap $x$ adalah $7 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x^{2} + 36}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x^{2} + 36}]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = x^{2} + 36$ .

$7 \frac{(x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Langkah 2.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$7 \frac{(x^{2} + 36) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Langkah 2.1.3.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x^{2} + 36$ .

$7 \frac{2 \cdot (x^{2} + 36) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Langkah 2.1.3.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 36$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$ .

$7 \frac{2 (x^{2} + 36) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36])}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Langkah 2.1.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$7 \frac{2 (x^{2} + 36) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [36])}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Langkah 2.1.3.5

Karena $36$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $36$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$7 \frac{2 (x^{2} + 36) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Langkah 2.1.3.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.6.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$7 \frac{2 (x^{2} + 36) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Langkah 2.1.3.6.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$7 \frac{2 (x^{2} + 36) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Langkah 2.1.4

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$7 \frac{2 (x^{2} + 36) x - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Langkah 2.1.5

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$7 \frac{2 (x^{2} + 36) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Langkah 2.1.6

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$7 \frac{2 (x^{2} + 36) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Langkah 2.1.7

Gabungkan $7$ dan $\frac{2 (x^{2} + 36) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$ .

$\frac{7 (2 (x^{2} + 36) x - 2 x^{3})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Langkah 2.1.8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.8.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{7 ((2 x^{2} + 2 \cdot 36) x - 2 x^{3})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Langkah 2.1.8.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{7 (2 x^{2} x + 2 \cdot 36 x - 2 x^{3})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Langkah 2.1.8.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{7 (2 x^{2} x) + 7 (2 \cdot 36 x) + 7 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Langkah 2.1.8.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.8.4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.8.4.1.1

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.8.4.1.1.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{7 (2 (x \cdot x^{2})) + 7 (2 \cdot 36 x) + 7 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Langkah 2.1.8.4.1.1.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.8.4.1.1.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{7 (2 (x^{1} x^{2})) + 7 (2 \cdot 36 x) + 7 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Langkah 2.1.8.4.1.1.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{7 (2 x^{1 + 2}) + 7 (2 \cdot 36 x) + 7 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Langkah 2.1.8.4.1.1.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{7 (2 x^{3}) + 7 (2 \cdot 36 x) + 7 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Langkah 2.1.8.4.1.2

Kalikan $2$ dengan $7$ .

$\frac{14 x^{3} + 7 (2 \cdot 36 x) + 7 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Langkah 2.1.8.4.1.3

Kalikan $2$ dengan $36$ .

$\frac{14 x^{3} + 7 (72 x) + 7 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Langkah 2.1.8.4.1.4

Kalikan $72$ dengan $7$ .

$\frac{14 x^{3} + 504 x + 7 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Langkah 2.1.8.4.1.5

Kalikan $- 2$ dengan $7$ .

$\frac{14 x^{3} + 504 x - 14 x^{3}}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Langkah 2.1.8.4.2

Gabungkan suku balikan dalam $14 x^{3} + 504 x - 14 x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.8.4.2.1

Kurangi $14 x^{3}$ dengan $14 x^{3}$ .

$\frac{504 x + 0}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Langkah 2.1.8.4.2.2

Tambahkan $504 x$ dan $0$ .

$f' (x) = \frac{504 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Langkah 2.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{504 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$ .

$\frac{504 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Langkah 3

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{504 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$\frac{504 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}} = 0$

Langkah 3.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$504 x = 0$

Langkah 3.3

Bagi setiap suku pada $504 x = 0$ dengan $504$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Bagilah setiap suku di $504 x = 0$ dengan $504$ .

$\frac{504 x}{504} = \frac{0}{504}$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $504$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{504 x}{504} = \frac{0}{504}$

Langkah 3.3.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{0}{504}$

Langkah 3.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Bagilah $0$ dengan $504$ .

$x = 0$

Langkah 4

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 5

Setelah mencari titik yang membuat turunan $f' (x) = \frac{504 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$ sama dengan $0$ atau tidak terdefinisi, interval untuk memeriksa di mana $f (x) = \frac{7 x^{2}}{x^{2} + 36}$ meningkat dan di mana menurun yaitu $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, 0)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 1) = \frac{504 (- 1)}{{({(- 1)}^{2} + 36)}^{2}}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Kalikan $504$ dengan $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 504}{{({(- 1)}^{2} + 36)}^{2}}$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 504}{{(1 + 36)}^{2}}$

Langkah 6.2.2.2

Tambahkan $1$ dan $36$ .

$f' (- 1) = \frac{- 504}{37^{2}}$

Langkah 6.2.2.3

Naikkan $37$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 504}{1369}$

Langkah 6.2.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (- 1) = - \frac{504}{1369}$

Langkah 6.2.4

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{504}{1369}$ .

$- \frac{504}{1369}$

Langkah 6.3

Pada $x = - 1$ , turunannya adalah $- \frac{504}{1369}$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- \infty, 0)$ .

Menurun pada $(- \infty, 0)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(0, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (1) = \frac{504 (1)}{{({(1)}^{2} + 36)}^{2}}$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Kalikan $504$ dengan $1$ .

$f' (1) = \frac{504}{{(1^{2} + 36)}^{2}}$

Langkah 7.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f' (1) = \frac{504}{{(1 + 36)}^{2}}$

Langkah 7.2.2.2

Tambahkan $1$ dan $36$ .

$f' (1) = \frac{504}{37^{2}}$

Langkah 7.2.2.3

Naikkan $37$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (1) = \frac{504}{1369}$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $\frac{504}{1369}$ .

$\frac{504}{1369}$

Langkah 7.3

Pada $x = 1$ , turunannya adalah $\frac{504}{1369}$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(0, \infty)$ .

Meningkat pada $(0, \infty)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 8

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(0, \infty)$

Menurun pada: $(- \infty, 0)$

Langkah 9