Kalkulus Contoh

$e^{- 1.5 x^{2}}$

Langkah 1

Tulis $e^{- 1.5 x^{2}}$ sebagai fungsi.

$f (x) = e^{- 1.5 x^{2}}$

Langkah 2

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = - 1.5 x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $- 1.5 x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 1.5 x^{2}]$

Langkah 2.1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [- 1.5 x^{2}]$

Langkah 2.1.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- 1.5 x^{2}$ .

$e^{- 1.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1.5 x^{2}]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Karena $- 1.5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1.5 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 1.5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- 1.5 x^{2}} (- 1.5 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 2.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$e^{- 1.5 x^{2}} (- 1.5 (2 x))$

Langkah 2.1.2.3

Kalikan $2$ dengan $- 1.5$ .

$e^{- 1.5 x^{2}} (- 3 x)$

Langkah 2.1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Susun kembali faktor-faktor dari $e^{- 1.5 x^{2}} (- 3 x)$ .

$- 3 e^{- 1.5 x^{2}} x$

Langkah 2.1.3.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $- 3 e^{- 1.5 x^{2}} x$ .

$f' (x) = - 3 x e^{- 1.5 x^{2}}$

Langkah 2.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- 3 x e^{- 1.5 x^{2}}$ .

$- 3 x e^{- 1.5 x^{2}}$

Langkah 3

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- 3 x e^{- 1.5 x^{2}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$- 3 x e^{- 1.5 x^{2}} = 0$

Langkah 3.2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x = 0$

$e^{- 1.5 x^{2}} = 0$

Langkah 3.3

Atur $x$ sama dengan $0$ .

$x = 0$

Langkah 3.4

Atur $e^{- 1.5 x^{2}}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Atur $e^{- 1.5 x^{2}}$ sama dengan $0$ .

$e^{- 1.5 x^{2}} = 0$

Langkah 3.4.2

Selesaikan $e^{- 1.5 x^{2}} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{- 1.5 x^{2}}) = \ln (0)$

Langkah 3.4.2.2

Persamaannya tidak dapat diselesaikan karena $\ln (0)$ tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 3.4.2.3

Tidak ada penyelesaian untuk $e^{- 1.5 x^{2}} = 0$

Tidak ada penyelesaian

Langkah 3.5

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $- 3 x e^{- 1.5 x^{2}} = 0$ benar.

$x = 0$

Langkah 4

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 5

Setelah mencari titik yang membuat turunan $f' (x) = - 3 x e^{- 1.5 x^{2}}$ sama dengan $0$ atau tidak terdefinisi, interval untuk memeriksa di mana $f (x) = e^{- 1.5 x^{2}}$ meningkat dan di mana menurun yaitu $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, 0)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 1) = - 3 \cdot - 1 \cdot e^{- 1.5 {(- 1)}^{2}}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Kalikan $- 3$ dengan $- 1$ .

$f' (- 1) = 3 \cdot e^{- 1.5 {(- 1)}^{2}}$

Langkah 6.2.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 1) = 3 \cdot e^{- 1.5 \cdot 1}$

Langkah 6.2.3

Kalikan $- 1.5$ dengan $1$ .

$f' (- 1) = 3 \cdot e^{- 1.5}$

Langkah 6.2.4

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 1) = 3 \cdot \frac{1}{e^{1.5}}$

Langkah 6.2.5

Gabungkan $3$ dan $\frac{1}{e^{1.5}}$ .

$f' (- 1) = \frac{3}{e^{1.5}}$

Langkah 6.2.6

Ganti $e$ dengan nilai perkiraan.

$f' (- 1) = \frac{3}{{2.71828182}^{1.5}}$

Langkah 6.2.7

Naikkan $2.71828182$ menjadi pangkat $1.5$ .

$f' (- 1) = \frac{3}{4.48168907}$

Langkah 6.2.8

Bagilah $3$ dengan $4.48168907$ .

$f' (- 1) = 0.66939048$

Langkah 6.2.9

Jawaban akhirnya adalah $0.66939048$ .

$0.66939048$

Langkah 6.3

Pada $x = - 1$ , turunannya adalah $0.66939048$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(- \infty, 0)$ .

Meningkat pada $(- \infty, 0)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(0, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (1) = - 3 \cdot 1 \cdot e^{- 1.5 {(1)}^{2}}$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Kalikan $- 3$ dengan $1$ .

$f' (1) = - 3 \cdot e^{- 1.5 {(1)}^{2}}$

Langkah 7.2.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f' (1) = - 3 \cdot e^{- 1.5 \cdot 1}$

Langkah 7.2.3

Kalikan $- 1.5$ dengan $1$ .

$f' (1) = - 3 \cdot e^{- 1.5}$

Langkah 7.2.4

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (1) = - 3 \cdot \frac{1}{e^{1.5}}$

Langkah 7.2.5

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{1}{e^{1.5}}$ .

$f' (1) = \frac{- 3}{e^{1.5}}$

Langkah 7.2.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (1) = - \frac{3}{e^{1.5}}$

Langkah 7.2.7

Ganti $e$ dengan nilai perkiraan.

$f' (1) = - \frac{3}{{2.71828182}^{1.5}}$

Langkah 7.2.8

Naikkan $2.71828182$ menjadi pangkat $1.5$ .

$f' (1) = - \frac{3}{4.48168907}$

Langkah 7.2.9

Bagilah $3$ dengan $4.48168907$ .

$f' (1) = - 1 \cdot 0.66939048$

Langkah 7.2.10

Kalikan $- 1$ dengan $0.66939048$ .

$f' (1) = - 0.66939048$

Langkah 7.2.11

Jawaban akhirnya adalah $- 0.66939048$ .

$- 0.66939048$

Langkah 7.3

Pada $x = 1$ , turunannya adalah $- 0.66939048$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(0, \infty)$ .

Menurun pada $(0, \infty)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 8

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(- \infty, 0)$

Menurun pada: $(0, \infty)$

Langkah 9