Kalkulus Contoh

$y = 7 e^{x}$ , $y = 7 x e^{x}$ , $x = 0$

Langkah 1

Selesaikan dengan substitusi untuk mencari perpotongan antara kurva-kurvanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Eliminasi sisi yang sama dari setiap persamaan dan gabungkan.

$7 e^{x} = 7 x e^{x}$

Langkah 1.2

Selesaikan $7 e^{x} = 7 x e^{x}$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (7 e^{x}) = \ln (7 x e^{x})$

Langkah 1.2.2

Perluas sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Tulis kembali $\ln (7 e^{x})$ sebagai $\ln (7) + \ln (e^{x})$ .

$\ln (7) + \ln (e^{x}) = \ln (7 x e^{x})$

Langkah 1.2.2.2

Perluas $\ln (e^{x})$ dengan memindahkan $x$ ke luar logaritma.

$\ln (7) + x \ln (e) = \ln (7 x e^{x})$

Langkah 1.2.2.3

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$\ln (7) + x \cdot 1 = \ln (7 x e^{x})$

Langkah 1.2.2.4

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$\ln (7) + x = \ln (7 x e^{x})$

Langkah 1.2.3

Perluas sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Tulis kembali $\ln (7 x e^{x})$ sebagai $\ln (7 x) + \ln (e^{x})$ .

$\ln (7) + x = \ln (7 x) + \ln (e^{x})$

Langkah 1.2.3.2

Tulis kembali $\ln (7 x)$ sebagai $\ln (7) + \ln (x)$ .

$\ln (7) + x = \ln (7) + \ln (x) + \ln (e^{x})$

Langkah 1.2.3.3

Perluas $\ln (e^{x})$ dengan memindahkan $x$ ke luar logaritma.

$\ln (7) + x = \ln (7) + \ln (x) + x \ln (e)$

Langkah 1.2.3.4

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$\ln (7) + x = \ln (7) + \ln (x) + x \cdot 1$

Langkah 1.2.3.5

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$\ln (7) + x = \ln (7) + \ln (x) + x$

Langkah 1.2.4

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Gunakan sifat hasil kali dari logaritma, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (7) + x = \ln (7 x) + x$

Langkah 1.2.5

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (7) - \ln (7 x) = - x + x$

Langkah 1.2.6

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{7}{7 x}) = - x + x$

Langkah 1.2.7

Batalkan faktor persekutuan dari $7$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.7.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\ln (\frac{7}{7 x}) = - x + x$

Langkah 1.2.7.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (\frac{1}{x}) = - x + x$

Langkah 1.2.8

Tambahkan $- x$ dan $x$ .

$\ln (\frac{1}{x}) = 0$

Langkah 1.2.9

Untuk menyelesaikan $x$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (\frac{1}{x})} = e^{0}$

Langkah 1.2.10

Tulis kembali $\ln (\frac{1}{x}) = 0$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{1}{x}$

Langkah 1.2.11

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.11.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{1}{x} = e^{0}$ .

$\frac{1}{x} = e^{0}$

Langkah 1.2.11.2

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$\frac{1}{x} = 1$

Langkah 1.2.11.3

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.11.3.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$x, 1 + y = 7 x e^{x}$

Langkah 1.2.11.3.2

KPK dari satu dan pernyataan apa pun adalah pernyataan itu sendiri.

$x + y = 7 x e^{x}$

Langkah 1.2.11.4

Kalikan setiap suku pada $\frac{1}{x} = 1$ dengan $x$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.11.4.1

Kalikan setiap suku dalam $\frac{1}{x} = 1$ dengan $x$ .

$\frac{1}{x} x = 1 x$

Langkah 1.2.11.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.11.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.11.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{x} x = 1 x$

Langkah 1.2.11.4.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 = 1 x$

Langkah 1.2.11.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.11.4.3.1

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$1 = x$

Langkah 1.2.11.5

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $x = 1$ .

$x = 1$

Langkah 1.3

Evaluasi $y$ ketika $x = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Substitusikan $1$ untuk $x$ .

$y = 7 (1) \cdot e^{1}$

Langkah 1.3.2

Substitusikan $1$ ke $x$ dalam $y = 7 (1) \cdot e^{1}$ dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = 7 (1) \cdot e$

Langkah 1.3.2.2

Kalikan $7$ dengan $1$ .

$y = 7 e$

Langkah 1.4

Penyelesaian dari sistem adalah himpunan lengkap dari pasangan terurut yang merupakan penyelesaian valid.

$(1, 7 e)$

Langkah 2

Luas daerah di antara kurva didefinisikan sebagai integral dari kurva atas dikurangi integral kurva bawah di sepanjang setiap daerah. Daerahnya ditentukan oleh perpotongan titik pada kurva. Daerah ini dapat ditentukan menggunakan aljabar atau grafik.

$A r e a = \int_{0}^{1} 7 x e^{x} d x - \int_{0}^{1} 7 e^{x} d x$

Langkah 3

Integralkan untuk menghitung luas antara $0$ dan $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gabungkan integral-integral tersebut menjadi integral tunggal.

$\int_{0}^{1} 7 x e^{x} - (7 e^{x}) d x$

Langkah 3.2

Kalikan $7$ dengan $- 1$ .

$\int_{0}^{1} 7 x e^{x} - 7 e^{x} d x$

Langkah 3.3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{0}^{1} 7 x e^{x} d x + \int_{0}^{1} - 7 e^{x} d x$

Langkah 3.4

Karena $7$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $7$ keluar dari integral.

$7 \int_{0}^{1} x e^{x} d x + \int_{0}^{1} - 7 e^{x} d x$

Langkah 3.5

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = e^{x}$ .

$7 (x e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} d x) + \int_{0}^{1} - 7 e^{x} d x$

Langkah 3.6

Integral dari $e^{x}$ terhadap $x$ adalah $e^{x}$ .

$7 (x e^{x}]_{0}^{1} - (e^{x}]_{0}^{1})) + \int_{0}^{1} - 7 e^{x} d x$

Langkah 3.7

Karena $- 7$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 7$ keluar dari integral.

$7 (x e^{x}]_{0}^{1} - (e^{x}]_{0}^{1})) - 7 \int_{0}^{1} e^{x} d x$

Langkah 3.8

Integral dari $e^{x}$ terhadap $x$ adalah $e^{x}$ .

$7 (x e^{x}]_{0}^{1} - (e^{x}]_{0}^{1})) - 7 (e^{x}]_{0}^{1})$

Langkah 3.9

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.1

Evaluasi $x e^{x}$ pada $1$ dan pada $0$ .

$7 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - (e^{x}]_{0}^{1})) - 7 (e^{x}]_{0}^{1})$

Langkah 3.9.2

Evaluasi $e^{x}$ pada $1$ dan pada $0$ .

$7 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0})) - 7 (e^{x}]_{0}^{1})$

Langkah 3.9.3

Evaluasi $e^{x}$ pada $1$ dan pada $0$ .

$7 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - (e^{1} - e^{0})) - 7 (e^{1} - e^{0})$

Langkah 3.9.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.4.1

Sederhanakan.

$7 (1 e + 0 e^{0} - (e^{1} - e^{0})) - 7 (e^{1} - e^{0})$

Langkah 3.9.4.2

Kalikan $e$ dengan $1$ .

$7 (e + 0 e^{0} - (e^{1} - e^{0})) - 7 (e^{1} - e^{0})$

Langkah 3.9.4.3

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$7 (e + 0 \cdot 1 - (e^{1} - e^{0})) - 7 (e^{1} - e^{0})$

Langkah 3.9.4.4

Kalikan $0$ dengan $1$ .

$7 (e + 0 - (e^{1} - e^{0})) - 7 (e^{1} - e^{0})$

Langkah 3.9.4.5

Tambahkan $e$ dan $0$ .

$7 (e - (e^{1} - e^{0})) - 7 (e^{1} - e^{0})$

Langkah 3.9.4.6

Sederhanakan.

$7 (e - (e - e^{0})) - 7 (e^{1} - e^{0})$

Langkah 3.9.4.7

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$7 (e - (e - 1 \cdot 1)) - 7 (e^{1} - e^{0})$

Langkah 3.9.4.8

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$7 (e - (e - 1)) - 7 (e^{1} - e^{0})$

Langkah 3.9.4.9

Sederhanakan.

$7 (e - (e - 1)) - 7 (e - e^{0})$

Langkah 3.9.4.10

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$7 (e - (e - 1)) - 7 (e - 1 \cdot 1)$

Langkah 3.9.4.11

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$7 (e - (e - 1)) - 7 (e - 1)$

Langkah 3.10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$7 (e - e - - 1) - 7 (e - 1)$

Langkah 3.10.1.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$7 (e - e + 1) - 7 (e - 1)$

Langkah 3.10.1.2

Kurangi $e$ dengan $e$ .

$7 (0 + 1) - 7 (e - 1)$

Langkah 3.10.1.3

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$7 \cdot 1 - 7 (e - 1)$

Langkah 3.10.1.4

Kalikan $7$ dengan $1$ .

$7 - 7 (e - 1)$

Langkah 3.10.1.5

Terapkan sifat distributif.

$7 - 7 e - 7 \cdot - 1$

Langkah 3.10.1.6

Kalikan $- 7$ dengan $- 1$ .

$7 - 7 e + 7$

Langkah 3.10.2

Tambahkan $7$ dan $7$ .

$14 - 7 e$

Langkah 4