Kalkulus Contoh

$f (x) = 7 x^{9} (3 x^{2} - 12)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Karena $7$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $7 x^{9} (3 x^{2} - 12)$ terhadap $x$ adalah $7 \frac{d}{d x} [x^{9} (3 x^{2} - 12)]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{9} (3 x^{2} - 12)]$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{9}$ dan $g (x) = 3 x^{2} - 12$ .

$7 (x^{9} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 12] + (3 x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Langkah 1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x^{2} - 12$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$7 (x^{9} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]) + (3 x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Langkah 1.3.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$7 (x^{9} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]) + (3 x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Langkah 1.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$7 (x^{9} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12]) + (3 x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Langkah 1.3.4

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$7 (x^{9} (6 x + \frac{d}{d x} [- 12]) + (3 x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Langkah 1.3.5

Karena $- 12$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 12$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$7 (x^{9} (6 x + 0) + (3 x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Langkah 1.3.6

Tambahkan $6 x$ dan $0$ .

$7 (x^{9} (6 x) + (3 x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Langkah 1.4

Kalikan $x^{9}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Pindahkan $x$ .

$7 (x \cdot x^{9} \cdot 6 + (3 x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Langkah 1.4.2

Kalikan $x$ dengan $x^{9}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$7 (x^{1} x^{9} \cdot 6 + (3 x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Langkah 1.4.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$7 (x^{1 + 9} \cdot 6 + (3 x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Langkah 1.4.3

Tambahkan $1$ dan $9$ .

$7 (x^{10} \cdot 6 + (3 x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Langkah 1.5

Pindahkan $6$ ke sebelah kiri $x^{10}$ .

$7 (6 \cdot x^{10} + (3 x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Langkah 1.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 9$ .

$7 (6 x^{10} + (3 x^{2} - 12) (9 x^{8}))$

Langkah 1.7

Pindahkan $9$ ke sebelah kiri $3 x^{2} - 12$ .

$7 (6 x^{10} + 9 \cdot (3 x^{2} - 12) x^{8})$

Langkah 1.8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.1

Terapkan sifat distributif.

$7 (6 x^{10} + (9 (3 x^{2}) + 9 \cdot - 12) x^{8})$

Langkah 1.8.2

Terapkan sifat distributif.

$7 (6 x^{10} + 9 (3 x^{2}) x^{8} + 9 \cdot - 12 x^{8})$

Langkah 1.8.3

Terapkan sifat distributif.

$7 (6 x^{10}) + 7 (9 (3 x^{2}) x^{8}) + 7 (9 \cdot - 12 x^{8})$

Langkah 1.8.4

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.4.1

Kalikan $6$ dengan $7$ .

$42 x^{10} + 7 (9 (3 x^{2}) x^{8}) + 7 (9 \cdot - 12 x^{8})$

Langkah 1.8.4.2

Kalikan $3$ dengan $9$ .

$42 x^{10} + 7 (27 x^{2} x^{8}) + 7 (9 \cdot - 12 x^{8})$

Langkah 1.8.4.3

Kalikan $x^{2}$ dengan $x^{8}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.4.3.1

Pindahkan $x^{8}$ .

$42 x^{10} + 7 (27 (x^{8} x^{2})) + 7 (9 \cdot - 12 x^{8})$

Langkah 1.8.4.3.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$42 x^{10} + 7 (27 x^{8 + 2}) + 7 (9 \cdot - 12 x^{8})$

Langkah 1.8.4.3.3

Tambahkan $8$ dan $2$ .

$42 x^{10} + 7 (27 x^{10}) + 7 (9 \cdot - 12 x^{8})$

Langkah 1.8.4.4

Kalikan $27$ dengan $7$ .

$42 x^{10} + 189 x^{10} + 7 (9 \cdot - 12 x^{8})$

Langkah 1.8.4.5

Kalikan $9$ dengan $- 12$ .

$42 x^{10} + 189 x^{10} + 7 (- 108 x^{8})$

Langkah 1.8.4.6

Kalikan $- 108$ dengan $7$ .

$42 x^{10} + 189 x^{10} - 756 x^{8}$

Langkah 1.8.4.7

Tambahkan $42 x^{10}$ dan $189 x^{10}$ .

$f' (x) = 231 x^{10} - 756 x^{8}$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $231 x^{10} - 756 x^{8}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [231 x^{10}] + \frac{d}{d x} [- 756 x^{8}]$ .

$\frac{d}{d x} [231 x^{10}] + \frac{d}{d x} [- 756 x^{8}]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [231 x^{10}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $231$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $231 x^{10}$ terhadap $x$ adalah $231 \frac{d}{d x} [x^{10}]$ .

$231 \frac{d}{d x} [x^{10}] + \frac{d}{d x} [- 756 x^{8}]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 10$ .

$231 (10 x^{9}) + \frac{d}{d x} [- 756 x^{8}]$

Langkah 2.2.3

Kalikan $10$ dengan $231$ .

$2310 x^{9} + \frac{d}{d x} [- 756 x^{8}]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 756 x^{8}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 756$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 756 x^{8}$ terhadap $x$ adalah $- 756 \frac{d}{d x} [x^{8}]$ .

$2310 x^{9} - 756 \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 8$ .

$2310 x^{9} - 756 (8 x^{7})$

Langkah 2.3.3

Kalikan $8$ dengan $- 756$ .

$f'' (x) = 2310 x^{9} - 6048 x^{7}$

Langkah 3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $2310 x^{9} - 6048 x^{7}$ .

$2310 x^{9} - 6048 x^{7}$