Kalkulus Contoh

$f (x) = - 2 x^{4} + 8 x^{3} - 12 x^{2}$

Langkah 1

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- 2 x^{4} + 8 x^{3} - 12 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x^{4}$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$- 2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

Langkah 1.1.2.3

Kalikan $4$ dengan $- 2$ .

$- 8 x^{3} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $8 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 8 x^{3} + 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$- 8 x^{3} + 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $3$ dengan $8$ .

$- 8 x^{3} + 24 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

Langkah 1.1.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Karena $- 12$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 12 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 8 x^{3} + 24 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.1.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$- 8 x^{3} + 24 x^{2} - 12 (2 x)$

Langkah 1.1.4.3

Kalikan $2$ dengan $- 12$ .

$f' (x) = - 8 x^{3} + 24 x^{2} - 24 x$

Langkah 1.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- 8 x^{3} + 24 x^{2} - 24 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Langkah 1.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Karena $- 8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 8 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Langkah 1.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$- 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Langkah 1.2.2.3

Kalikan $3$ dengan $- 8$ .

$- 24 x^{2} + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Langkah 1.2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Karena $24$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $24 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 24 x^{2} + 24 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Langkah 1.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$- 24 x^{2} + 24 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Langkah 1.2.3.3

Kalikan $2$ dengan $24$ .

$- 24 x^{2} + 48 x + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Langkah 1.2.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Karena $- 24$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 24 x$ terhadap $x$ adalah $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 24 x^{2} + 48 x - 24 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.2.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 24 x^{2} + 48 x - 24 \cdot 1$

Langkah 1.2.4.3

Kalikan $- 24$ dengan $1$ .

$f'' (x) = - 24 x^{2} + 48 x - 24$

Langkah 1.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- 24 x^{2} + 48 x - 24$ .

$- 24 x^{2} + 48 x - 24$

Langkah 2

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- 24 x^{2} + 48 x - 24 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$- 24 x^{2} + 48 x - 24 = 0$

Langkah 2.2

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Faktorkan $- 24$ dari $- 24 x^{2} + 48 x - 24$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Faktorkan $- 24$ dari $- 24 x^{2}$ .

$- 24 x^{2} + 48 x - 24 = 0$

Langkah 2.2.1.2

Faktorkan $- 24$ dari $48 x$ .

$- 24 x^{2} - 24 (- 2 x) - 24 = 0$

Langkah 2.2.1.3

Faktorkan $- 24$ dari $- 24$ .

$- 24 x^{2} - 24 (- 2 x) - 24 \cdot 1 = 0$

Langkah 2.2.1.4

Faktorkan $- 24$ dari $- 24 (x^{2}) - 24 (- 2 x)$ .

$- 24 (x^{2} - 2 x) - 24 \cdot 1 = 0$

Langkah 2.2.1.5

Faktorkan $- 24$ dari $- 24 (x^{2} - 2 x) - 24 (1)$ .

$- 24 (x^{2} - 2 x + 1) = 0$

Langkah 2.2.2

Faktorkan menggunakan aturan kuadrat sempurna.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$- 24 (x^{2} - 2 x + 1^{2}) = 0$

Langkah 2.2.2.2

Periksa apakah suku tengahnya merupakan dua kali hasil perkalian dari bilangan yang dikuadratkan di suku pertama dan suku ketiga.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Langkah 2.2.2.3

Tulis kembali polinomialnya.

$- 24 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Langkah 2.2.2.4

Faktorkan menggunakan aturan trinomial kuadrat sempurna $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , di mana $a = x$ dan $b = 1$ .

$- 24 {(x - 1)}^{2} = 0$

Langkah 2.3

Bagi setiap suku pada $- 24 {(x - 1)}^{2} = 0$ dengan $- 24$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagilah setiap suku di $- 24 {(x - 1)}^{2} = 0$ dengan $- 24$ .

$\frac{- 24 {(x - 1)}^{2}}{- 24} = \frac{0}{- 24}$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 24$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 24 {(x - 1)}^{2}}{- 24} = \frac{0}{- 24}$

Langkah 2.3.2.1.2

Bagilah ${(x - 1)}^{2}$ dengan $1$ .

${(x - 1)}^{2} = \frac{0}{- 24}$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Bagilah $0$ dengan $- 24$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Langkah 2.4

Atur $x - 1$ agar sama dengan $0$ .

$x - 1 = 0$

Langkah 2.5

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 1$

Langkah 3

Tentukan titik di mana turunan keduanya adalah $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $1$ dalam $f (x) = - 2 x^{4} + 8 x^{3} - 12 x^{2}$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f (1) = - 2 {(1)}^{4} + 8 {(1)}^{3} - 12 {(1)}^{2}$

Langkah 3.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f (1) = - 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3} - 12 {(1)}^{2}$

Langkah 3.1.2.1.2

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$f (1) = - 2 + 8 {(1)}^{3} - 12 {(1)}^{2}$

Langkah 3.1.2.1.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f (1) = - 2 + 8 \cdot 1 - 12 {(1)}^{2}$

Langkah 3.1.2.1.4

Kalikan $8$ dengan $1$ .

$f (1) = - 2 + 8 - 12 {(1)}^{2}$

Langkah 3.1.2.1.5

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f (1) = - 2 + 8 - 12 \cdot 1$

Langkah 3.1.2.1.6

Kalikan $- 12$ dengan $1$ .

$f (1) = - 2 + 8 - 12$

Langkah 3.1.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.2.1

Tambahkan $- 2$ dan $8$ .

$f (1) = 6 - 12$

Langkah 3.1.2.2.2

Kurangi $12$ dengan $6$ .

$f (1) = - 6$

Langkah 3.1.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 6$ .

$- 6$

Langkah 3.2

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $1$ dalam $f (x) = - 2 x^{4} + 8 x^{3} - 12 x^{2}$ adalah $(1, - 6)$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(1, - 6)$

Langkah 4

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval di sekitar titik-titik yang dapat berpotensi menjadi titik-titik belok.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, 1)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $0.9$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0.9) = - 24 {(0.9)}^{2} + 48 (0.9) - 24$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Naikkan $0.9$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (0.9) = - 24 \cdot 0.81 + 48 (0.9) - 24$

Langkah 5.2.1.2

Kalikan $- 24$ dengan $0.81$ .

$f'' (0.9) = - 19.44 + 48 (0.9) - 24$

Langkah 5.2.1.3

Kalikan $48$ dengan $0.9$ .

$f'' (0.9) = - 19.44 + 43.2 - 24$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Tambahkan $- 19.44$ dan $43.2$ .

$f'' (0.9) = 23.76 - 24$

Langkah 5.2.2.2

Kurangi $24$ dengan $23.76$ .

$f'' (0.9) = - 0.24$

Langkah 5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 0.24$ .

$- 0.24$

Langkah 5.3

Pada $0.9$ , turunan kedua adalah $- 0.24$ . Karena ini negatif, turunan kedua menurun pada interval $(- \infty, 1)$

Menurun pada $(- \infty, 1)$ karena $f'' (x) < 0$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(1, \infty)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $1.1$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (1.1) = - 24 {(1.1)}^{2} + 48 (1.1) - 24$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Naikkan $1.1$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (1.1) = - 24 \cdot 1.21 + 48 (1.1) - 24$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan $- 24$ dengan $1.21$ .

$f'' (1.1) = - 29.04 + 48 (1.1) - 24$

Langkah 6.2.1.3

Kalikan $48$ dengan $1.1$ .

$f'' (1.1) = - 29.04 + 52.8 - 24$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Tambahkan $- 29.04$ dan $52.8$ .

$f'' (1.1) = 23.76 - 24$

Langkah 6.2.2.2

Kurangi $24$ dengan $23.76$ .

$f'' (1.1) = - 0.24$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 0.24$ .

$- 0.24$

Langkah 6.3

Pada $1.1$ , turunan kedua adalah $- 0.24$ . Karena ini negatif, turunan kedua menurun pada interval $(1, \infty)$

Menurun pada $(1, \infty)$ karena $f'' (x) < 0$

Langkah 7

Titik belok adalah titik pada kurva ketika kecekungan berubah dari positif ke negatif atau dari negatif ke positif. Tidak ada titik pada grafik yang memenuhi syarat.

Tidak Ada Titik Belok