Kalkulus Contoh

$h (x) = 6 \cos^{4} (x) \sin (x)$ , $[0, π]$

Langkah 1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Langkah 2

$h (x)$ kontinu di $[0, π]$ .

$h (x)$ kontinu

Langkah 3

Nilai rerata dari fungsi $h$ di sepanjang interval $[a, b]$ didefinisikan sebagai $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Langkah 4

Substitusikan nilai-nilai aktual ke dalam rumus untuk menghitung nilai rerata dari suatu fungsi.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (\int_{0}^{π} 6 \cos^{4} (x) \sin (x) d x)$

Langkah 5

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $6$ keluar dari integral.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (6 \int_{0}^{π} \cos^{4} (x) \sin (x) d x)$

Langkah 6

Biarkan $u = \cos (x)$ . Kemudian $d u = - \sin (x) d x$ sehingga $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Biarkan $u = \cos (x)$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Diferensialkan $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Langkah 6.1.2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Langkah 6.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = \cos (x)$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Langkah 6.3

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$u_{lower} = 1$

Langkah 6.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = \cos (x)$ .

$u_{upper} = \cos (π)$

Langkah 6.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$u_{upper} = - \cos (0)$

Langkah 6.5.2

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 1$

Langkah 6.5.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$u_{upper} = - 1$

Langkah 6.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = - 1$

Langkah 6.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (6 \int_{1}^{- 1} - u^{4} d u)$

Langkah 7

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (6 (- \int_{1}^{- 1} u^{4} d u))$

Langkah 8

Kalikan $- 1$ dengan $6$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 \int_{1}^{- 1} u^{4} d u)$

Langkah 9

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{4}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (\frac{1}{5} u^{5}]_{1}^{- 1}))$

Langkah 10

Gabungkan $\frac{1}{5}$ dan $u^{5}$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{- 1}))$

Langkah 11

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Evaluasi $\frac{u^{5}}{5}$ pada $- 1$ dan pada $1$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 ((\frac{{(- 1)}^{5}}{5}) - \frac{1^{5}}{5}))$

Langkah 11.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $5$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (\frac{- 1}{5} - \frac{1^{5}}{5}))$

Langkah 11.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (- \frac{1}{5} - \frac{1^{5}}{5}))$

Langkah 11.2.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (- \frac{1}{5} - \frac{1}{5}))$

Langkah 11.2.4

Kurangi $\frac{1}{5}$ dengan $- \frac{1}{5}$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (- 2 (\frac{1}{5})))$

Langkah 11.2.5

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{5}$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (\frac{- 2}{5}))$

Langkah 11.2.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (- \frac{2}{5}))$

Langkah 11.2.7

Kalikan $- 1$ dengan $- 6$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (6 (\frac{2}{5}))$

Langkah 11.2.8

Gabungkan $6$ dan $\frac{2}{5}$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (\frac{6 \cdot 2}{5})$

Langkah 11.2.9

Kalikan $6$ dengan $2$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (\frac{12}{5})$

Langkah 12

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{π + 0} \cdot \frac{12}{5}$

Langkah 12.2

Tambahkan $π$ dan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{π} \cdot \frac{12}{5}$

Langkah 13

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Kalikan $\frac{1}{π}$ dengan $\frac{12}{5}$ .

$A (x) = \frac{12}{π \cdot 5}$

Langkah 13.2

Pindahkan $5$ ke sebelah kiri $π$ .

$A (x) = \frac{12}{5 π}$

Langkah 14