Kalkulus Contoh

$g (t) = \frac{t}{\sqrt{5 + t^{2}}}$ , $[2, 5]$

Langkah 1

Untuk menentukan rerata nilai fungsi, fungsinya harus kontinu pada interval tertutup $[a, b]$ . Untuk menentukan apakah $g (t)$ kontinu di $[2, 5]$ atau tidak, tentukan domain dari $g (t) = \frac{t}{\sqrt{5 + t^{2}}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt{5 + t^{2}}$ agar lebih besar dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$5 + t^{2} \geq 0$

Langkah 1.2

Selesaikan $t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Kurangkan $5$ pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut.

$t^{2} \geq - 5$

Langkah 1.2.2

Karena sisi kiri memiliki pangkat genap, maka selalu positif untuk semua bilangan riil.

Semua bilangan riil

Langkah 1.3

Atur penyebut dalam $\frac{t}{\sqrt{5 + t^{2}}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$\sqrt{5 + t^{2}} = 0$

Langkah 1.4

Selesaikan $t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Untuk menghapus akar pada sisi kiri persamaan, kuadratkan kedua sisi persamaan.

${\sqrt{5 + t^{2}}}^{2} = 0^{2}$

Langkah 1.4.2

Sederhanakan setiap sisi persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{5 + t^{2}}$ sebagai ${(5 + t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(5 + t^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Langkah 1.4.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.1

Sederhanakan ${({(5 + t^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.1.1

Kalikan eksponen dalam ${({(5 + t^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(5 + t^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Langkah 1.4.2.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

${(5 + t^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Langkah 1.4.2.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

${(5 + t^{2})}^{1} = 0^{2}$

Langkah 1.4.2.2.1.2

Sederhanakan.

$5 + t^{2} = 0^{2}$

Langkah 1.4.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$5 + t^{2} = 0$

Langkah 1.4.3

Selesaikan $t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.1

Kurangkan $5$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$t^{2} = - 5$

Langkah 1.4.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$t = \pm \sqrt{- 5}$

Langkah 1.4.3.3

Sederhanakan $\pm \sqrt{- 5}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.3.1

Tulis kembali $- 5$ sebagai $- 1 (5)$ .

$t = \pm \sqrt{- 1 (5)}$

Langkah 1.4.3.3.2

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (5)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$ .

$t = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$

Langkah 1.4.3.3.3

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$t = \pm i \sqrt{5}$

Langkah 1.4.3.4

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.4.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$t = i \sqrt{5}$

Langkah 1.4.3.4.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$t = - i \sqrt{5}$

Langkah 1.4.3.4.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$t = i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$

Langkah 1.5

Domain adalah semua bilangan riil.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${t | t \in ℝ}$

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${t | t \in ℝ}$

Langkah 2

$g (t)$ kontinu di $[2, 5]$ .

$g (t)$ kontinu

Langkah 3

Nilai rerata dari fungsi $g$ di sepanjang interval $[a, b]$ didefinisikan sebagai $A (t) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (t) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Langkah 4

Substitusikan nilai-nilai aktual ke dalam rumus untuk menghitung nilai rerata dari suatu fungsi.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{2}^{5} \frac{t}{\sqrt{5 + t^{2}}} d t)$

Langkah 5

Biarkan $u = 5 + t^{2}$ . Kemudian $d u = 2 t d t$ sehingga $\frac{1}{2} d u = t d t$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Biarkan $u = 5 + t^{2}$ . Tentukan $\frac{d u}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Diferensialkan $5 + t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [5 + t^{2}]$

Langkah 5.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $5 + t^{2}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Langkah 5.1.3

Karena $5$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $5$ terhadap $t$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Langkah 5.1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$0 + 2 t$

Langkah 5.1.5

Tambahkan $0$ dan $2 t$ .

$2 t$

Langkah 5.2

Substitusikan batas bawah untuk $t$ di $u = 5 + t^{2}$ .

$u_{lower} = 5 + 2^{2}$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$u_{lower} = 5 + 4$

Langkah 5.3.2

Tambahkan $5$ dan $4$ .

$u_{lower} = 9$

Langkah 5.4

Substitusikan batas atas untuk $t$ di $u = 5 + t^{2}$ .

$u_{upper} = 5 + 5^{2}$

Langkah 5.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$u_{upper} = 5 + 25$

Langkah 5.5.2

Tambahkan $5$ dan $25$ .

$u_{upper} = 30$

Langkah 5.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 9$

$u_{upper} = 30$

Langkah 5.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{9}^{30} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u)$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{u}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{9}^{30} \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u)$

Langkah 6.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\sqrt{u}$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{9}^{30} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u)$

Langkah 7

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot \int_{9}^{30} \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Langkah 8

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u}$ sebagai $u^{\frac{1}{2}}$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot \int_{9}^{30} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u)$

Langkah 8.2

Pindahkan $u^{\frac{1}{2}}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot \int_{9}^{30} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u)$

Langkah 8.3

Kalikan eksponen dalam ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot \int_{9}^{30} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u)$

Langkah 8.3.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot \int_{9}^{30} u^{\frac{- 1}{2}} d u)$

Langkah 8.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot \int_{9}^{30} u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Langkah 9

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{- \frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}}]_{9}^{30})$

Langkah 10

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Evaluasi $2 u^{\frac{1}{2}}$ pada $30$ dan pada $9$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot ((2 \cdot 30^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}))$

Langkah 10.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}}))$

Langkah 10.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}))$

Langkah 10.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}))$

Langkah 10.2.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 3))$

Langkah 10.2.4

Evaluasi eksponennya.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 3))$

Langkah 10.2.5

Kalikan $- 2$ dengan $3$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}} - 6))$

Langkah 11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Terapkan sifat distributif.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2} \cdot - 6)$

Langkah 11.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 \cdot 30^{\frac{1}{2}}$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 (30^{\frac{1}{2}})) + \frac{1}{2} \cdot - 6)$

Langkah 11.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2} \cdot - 6)$

Langkah 11.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (30^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} \cdot - 6)$

Langkah 11.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Faktorkan $2$ dari $- 6$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (30^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} \cdot (2 (- 3)))$

Langkah 11.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (30^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 3))$

Langkah 11.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (30^{\frac{1}{2}} - 3)$

Langkah 12

Kurangi $2$ dengan $5$ .

$A (t) = \frac{1}{3} \cdot (30^{\frac{1}{2}} - 3)$

Langkah 13

Terapkan sifat distributif.

$A (t) = \frac{1}{3} \cdot 30^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{3} \cdot - 3$

Langkah 14

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $30^{\frac{1}{2}}$ .

$A (t) = \frac{30^{\frac{1}{2}}}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 3$

Langkah 15

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Faktorkan $3$ dari $- 3$ .

$A (t) = \frac{30^{\frac{1}{2}}}{3} + \frac{1}{3} \cdot (3 (- 1))$

Langkah 15.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (t) = \frac{30^{\frac{1}{2}}}{3} + \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot - 1)$

Langkah 15.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (t) = \frac{30^{\frac{1}{2}}}{3} - 1$

Langkah 16