Kalkulus Contoh

$\sin (x + y) = 2 x - 2 y$ , $(π, π)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = π$ dan $y = π$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (\sin (x + y)) = \frac{d}{d x} (2 x - 2 y)$

Langkah 1.2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = x + y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x + y]$

Langkah 1.2.1.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x + y]$

Langkah 1.2.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + y$ .

$\cos (x + y) \frac{d}{d x} [x + y]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + y$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\cos (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 1.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\cos (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 1.2.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$\cos (x + y) (1 + y')$

Langkah 1.3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x - 2 y$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Langkah 1.3.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Langkah 1.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Langkah 1.3.2.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Langkah 1.3.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 y$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 - 2 \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 1.3.3.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$2 - 2 y'$

Langkah 1.4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$\cos (x + y) (1 + y') = 2 - 2 y'$

Langkah 1.5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1

Sederhanakan $\cos (x + y) (1 + y')$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1.1

Tulis kembali.

$0 + 0 + \cos (x + y) (1 + y') = 2 - 2 y'$

Langkah 1.5.1.1.2

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

$\cos (x + y) (1 + y') = 2 - 2 y'$

Langkah 1.5.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$\cos (x + y) \cdot 1 + \cos (x + y) y' = 2 - 2 y'$

Langkah 1.5.1.1.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1.4.1

Kalikan $\cos (x + y)$ dengan $1$ .

$\cos (x + y) + \cos (x + y) y' = 2 - 2 y'$

Langkah 1.5.1.1.4.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $\cos (x + y) + \cos (x + y) y'$ .

$\cos (x + y) + y' \cos (x + y) = 2 - 2 y'$

Langkah 1.5.2

Tambahkan $2 y'$ ke kedua sisi persamaan.

$\cos (x + y) + y' \cos (x + y) + 2 y' = 2$

Langkah 1.5.3

Kurangkan $\cos (x + y)$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y' \cos (x + y) + 2 y' = 2 - \cos (x + y)$

Langkah 1.5.4

Faktorkan $y'$ dari $y' \cos (x + y) + 2 y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.1

Faktorkan $y'$ dari $y' \cos (x + y)$ .

$y' (\cos (x + y)) + 2 y' = 2 - \cos (x + y)$

Langkah 1.5.4.2

Faktorkan $y'$ dari $2 y'$ .

$y' (\cos (x + y)) + y' \cdot 2 = 2 - \cos (x + y)$

Langkah 1.5.4.3

Faktorkan $y'$ dari $y' (\cos (x + y)) + y' \cdot 2$ .

$y' (\cos (x + y) + 2) = 2 - \cos (x + y)$

Langkah 1.5.5

Bagi setiap suku pada $y' (\cos (x + y) + 2) = 2 - \cos (x + y)$ dengan $\cos (x + y) + 2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.5.1

Bagilah setiap suku di $y' (\cos (x + y) + 2) = 2 - \cos (x + y)$ dengan $\cos (x + y) + 2$ .

$\frac{y' (\cos (x + y) + 2)}{\cos (x + y) + 2} = \frac{2}{\cos (x + y) + 2} + \frac{- \cos (x + y)}{\cos (x + y) + 2}$

Langkah 1.5.5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $\cos (x + y) + 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (\cos (x + y) + 2)}{\cos (x + y) + 2} = \frac{2}{\cos (x + y) + 2} + \frac{- \cos (x + y)}{\cos (x + y) + 2}$

Langkah 1.5.5.2.1.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{2}{\cos (x + y) + 2} + \frac{- \cos (x + y)}{\cos (x + y) + 2}$

Langkah 1.5.5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.5.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = \frac{2}{\cos (x + y) + 2} - \frac{\cos (x + y)}{\cos (x + y) + 2}$

Langkah 1.5.5.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{2 - \cos (x + y)}{\cos (x + y) + 2}$

Langkah 1.6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 - \cos (x + y)}{\cos (x + y) + 2}$

Langkah 1.7

Evaluasi pada $x = π$ dan $y = π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Ganti variabel $x$ dengan $π$ pada pernyataan tersebut.

$\frac{2 - \cos ((π) + y)}{\cos ((π) + y) + 2}$

Langkah 1.7.2

Ganti variabel $y$ dengan $π$ pada pernyataan tersebut.

$\frac{2 - \cos (π + π)}{\cos (π + π) + 2}$

Langkah 1.7.3

Hilangkan tanda kurung.

$\frac{2 - \cos (π + π)}{\cos (π + π) + 2}$

Langkah 1.7.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.4.1

Tambahkan $π$ dan $π$ .

$\frac{2 - \cos (2 π)}{\cos (π + π) + 2}$

Langkah 1.7.4.2

Kurangi rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$\frac{2 - \cos (0)}{\cos (π + π) + 2}$

Langkah 1.7.4.3

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$\frac{2 - 1 \cdot 1}{\cos (π + π) + 2}$

Langkah 1.7.4.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{2 - 1}{\cos (π + π) + 2}$

Langkah 1.7.4.5

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{\cos (π + π) + 2}$

Langkah 1.7.5

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.5.1

Tambahkan $π$ dan $π$ .

$\frac{1}{\cos (2 π) + 2}$

Langkah 1.7.5.2

Kurangi rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$\frac{1}{\cos (0) + 2}$

Langkah 1.7.5.3

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$\frac{1}{1 + 2}$

Langkah 1.7.5.4

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{1}{3}$

Langkah 2

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan gradien $\frac{1}{3}$ dan titik yang diberikan $(π, π)$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (π) = \frac{1}{3} \cdot (x - (π))$

Langkah 2.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y - π = \frac{1}{3} \cdot (x - π)$

Langkah 2.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan $\frac{1}{3} \cdot (x - π)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tulis kembali.

$y - π = 0 + 0 + \frac{1}{3} \cdot (x - π)$

Langkah 2.3.1.2

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

$y - π = \frac{1}{3} \cdot (x - π)$

Langkah 2.3.1.3

Terapkan sifat distributif.

$y - π = \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} (- π)$

Langkah 2.3.1.4

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x$ .

$y - π = \frac{x}{3} + \frac{1}{3} (- π)$

Langkah 2.3.1.5

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $π$ .

$y - π = \frac{x}{3} - \frac{π}{3}$

Langkah 2.3.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Tambahkan $π$ ke kedua sisi persamaan.

$y = \frac{x}{3} - \frac{π}{3} + π$

Langkah 2.3.2.2

Untuk menuliskan $π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x}{3} - \frac{π}{3} + π \cdot \frac{3}{3}$

Langkah 2.3.2.3

Gabungkan $π$ dan $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x}{3} - \frac{π}{3} + \frac{π \cdot 3}{3}$

Langkah 2.3.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{x}{3} + \frac{- π + π \cdot 3}{3}$

Langkah 2.3.2.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{x - π + π \cdot 3}{3}$

Langkah 2.3.2.6

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $π$ .

$y = \frac{x - π + 3 π}{3}$

Langkah 2.3.2.7

Tambahkan $- π$ dan $3 π$ .

$y = \frac{x + 2 π}{3}$

Langkah 2.3.2.8

Pisahkan pecahan $\frac{x + 2 π}{3}$ menjadi dua pecahan.

$y = \frac{x}{3} + \frac{2 π}{3}$

Langkah 2.3.3

Susun kembali suku-suku.

$y = \frac{1}{3} x + \frac{2 π}{3}$

Langkah 3