Kalkulus Contoh

$y^{2} - x^{2} = 16$ ; $(2, 2 \sqrt{5})$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = 2$ dan $y = 2 \sqrt{5}$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y^{2} - x^{2}) = \frac{d}{d x} (16)$

Langkah 1.2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y^{2} - x^{2}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 1.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 1.2.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 1.2.2.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 1.2.2.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$2 y y' + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 1.2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 y y' - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 y y' - (2 x)$

Langkah 1.2.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$2 y y' - 2 x$

Langkah 1.3

Karena $16$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $16$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 1.4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$2 y y' - 2 x = 0$

Langkah 1.5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Tambahkan $2 x$ ke kedua sisi persamaan.

$2 y y' = 2 x$

Langkah 1.5.2

Bagi setiap suku pada $2 y y' = 2 x$ dengan $2 y$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1

Bagilah setiap suku di $2 y y' = 2 x$ dengan $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{2 x}{2 y}$

Langkah 1.5.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{2 x}{2 y}$

Langkah 1.5.2.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y y'}{y} = \frac{2 x}{2 y}$

Langkah 1.5.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y y'}{y} = \frac{2 x}{2 y}$

Langkah 1.5.2.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{2 x}{2 y}$

Langkah 1.5.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{2 x}{2 y}$

Langkah 1.5.2.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{x}{y}$

Langkah 1.6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y}$

Langkah 1.7

Evaluasi pada $x = 2$ dan $y = 2 \sqrt{5}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Ganti variabel $x$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$\frac{2}{y}$

Langkah 1.7.2

Ganti variabel $y$ dengan $2 \sqrt{5}$ pada pernyataan tersebut.

$\frac{2}{2 \sqrt{5}}$

Langkah 1.7.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2}{2 \sqrt{5}}$

Langkah 1.7.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{\sqrt{5}}$

Langkah 1.7.4

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{5}}$ dengan $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Langkah 1.7.5

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.5.1

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{5}}$ dengan $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Langkah 1.7.5.2

Naikkan $\sqrt{5}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Langkah 1.7.5.3

Naikkan $\sqrt{5}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Langkah 1.7.5.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Langkah 1.7.5.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Langkah 1.7.5.6

Tulis kembali ${\sqrt{5}}^{2}$ sebagai $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.5.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{5}$ sebagai $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 1.7.5.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 1.7.5.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 1.7.5.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.5.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 1.7.5.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\sqrt{5}}{5^{1}}$

Langkah 1.7.5.6.5

Evaluasi eksponennya.

$\frac{\sqrt{5}}{5}$

Langkah 2

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan gradien $\frac{\sqrt{5}}{5}$ dan titik yang diberikan $(2, 2 \sqrt{5})$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2 \sqrt{5}) = \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot (x - (2))$

Langkah 2.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y - 2 \sqrt{5} = \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot (x - 2)$

Langkah 2.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan $\frac{\sqrt{5}}{5} \cdot (x - 2)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tulis kembali.

$y - 2 \sqrt{5} = 0 + 0 + \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot (x - 2)$

Langkah 2.3.1.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.2.1

Terapkan sifat distributif.

$y - 2 \sqrt{5} = \frac{\sqrt{5}}{5} x + \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot - 2$

Langkah 2.3.1.2.2

Gabungkan $\frac{\sqrt{5}}{5}$ dan $x$ .

$y - 2 \sqrt{5} = \frac{\sqrt{5} x}{5} + \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot - 2$

Langkah 2.3.1.2.3

Gabungkan $\frac{\sqrt{5}}{5}$ dan $- 2$ .

$y - 2 \sqrt{5} = \frac{\sqrt{5} x}{5} + \frac{\sqrt{5} \cdot - 2}{5}$

Langkah 2.3.1.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.3.1

Pindahkan $- 2$ ke sebelah kiri $\sqrt{5}$ .

$y - 2 \sqrt{5} = \frac{\sqrt{5} x}{5} + \frac{- 2 \sqrt{5}}{5}$

Langkah 2.3.1.3.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y - 2 \sqrt{5} = \frac{\sqrt{5} x}{5} - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Langkah 2.3.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Tambahkan $2 \sqrt{5}$ ke kedua sisi persamaan.

$y = \frac{\sqrt{5} x}{5} - \frac{2 \sqrt{5}}{5} + 2 \sqrt{5}$

Langkah 2.3.2.2

Untuk menuliskan $2 \sqrt{5}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{\sqrt{5} x}{5} - \frac{2 \sqrt{5}}{5} + 2 \sqrt{5} \cdot \frac{5}{5}$

Langkah 2.3.2.3

Gabungkan $2 \sqrt{5}$ dan $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{\sqrt{5} x}{5} - \frac{2 \sqrt{5}}{5} + \frac{2 \sqrt{5} \cdot 5}{5}$

Langkah 2.3.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{\sqrt{5} x}{5} + \frac{- 2 \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} \cdot 5}{5}$

Langkah 2.3.2.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{\sqrt{5} x - 2 \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} \cdot 5}{5}$

Langkah 2.3.2.6

Kalikan $5$ dengan $2$ .

$y = \frac{\sqrt{5} x - 2 \sqrt{5} + 10 \sqrt{5}}{5}$

Langkah 2.3.2.7

Tambahkan $- 2 \sqrt{5}$ dan $10 \sqrt{5}$ .

$y = \frac{\sqrt{5} x + 8 \sqrt{5}}{5}$

Langkah 2.3.2.8

Pisahkan pecahan $\frac{\sqrt{5} x + 8 \sqrt{5}}{5}$ menjadi dua pecahan.

$y = \frac{\sqrt{5} x}{5} + \frac{8 \sqrt{5}}{5}$

Langkah 2.3.3

Susun kembali suku-suku.

$y = \frac{\sqrt{5}}{5} x + \frac{8 \sqrt{5}}{5}$

Langkah 3