Kalkulus Contoh

$y = \frac{4 + \csc (x)}{8 - \csc (x)}$ , $(\frac{π}{6}, 1)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = \frac{π}{6}$ dan $y = 1$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = 4 + \csc (x)$ dan $g (x) = 8 - \csc (x)$ .

$\frac{(8 - \csc (x)) \frac{d}{d x} [4 + \csc (x)] - (4 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [8 - \csc (x)]}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Langkah 1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 + \csc (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [\csc (x)]$ .

$\frac{(8 - \csc (x)) (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [\csc (x)]) - (4 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [8 - \csc (x)]}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Langkah 1.2.2

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{(8 - \csc (x)) (0 + \frac{d}{d x} [\csc (x)]) - (4 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [8 - \csc (x)]}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Langkah 1.2.3

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [\csc (x)]$ .

$\frac{(8 - \csc (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x)] - (4 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [8 - \csc (x)]}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Langkah 1.3

Turunan dari $\csc (x)$ terhadap $x$ adalah $- \csc (x) \cot (x)$ .

$\frac{(8 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - (4 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [8 - \csc (x)]}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Langkah 1.4

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $8 - \csc (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- \csc (x)]$ .

$\frac{(8 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - (4 + \csc (x)) (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- \csc (x)])}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Langkah 1.4.2

Karena $8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $8$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{(8 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - (4 + \csc (x)) (0 + \frac{d}{d x} [- \csc (x)])}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Langkah 1.4.3

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [- \csc (x)]$ .

$\frac{(8 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - (4 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [- \csc (x)]}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Langkah 1.4.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \csc (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [\csc (x)]$ .

$\frac{(8 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - (4 + \csc (x)) (- \frac{d}{d x} [\csc (x)])}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Langkah 1.4.5

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{(8 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) + 1 (4 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Langkah 1.4.5.2

Kalikan $4 + \csc (x)$ dengan $1$ .

$\frac{(8 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) + (4 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Langkah 1.5

Turunan dari $\csc (x)$ terhadap $x$ adalah $- \csc (x) \cot (x)$ .

$\frac{(8 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) + (4 + \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x))}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Langkah 1.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{8 (- \csc (x) \cot (x)) - \csc (x) (- \csc (x) \cot (x)) + (4 + \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x))}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Langkah 1.6.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{8 (- \csc (x) \cot (x)) - \csc (x) (- \csc (x) \cot (x)) + 4 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Langkah 1.6.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.3.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $8$ .

$\frac{- 8 (\csc (x) \cot (x)) - \csc (x) (- \csc (x) \cot (x)) + 4 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Langkah 1.6.3.1.2

Kalikan $- \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.3.1.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + 1 \csc (x) (\csc (x) \cot (x)) + 4 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Langkah 1.6.3.1.2.2

Kalikan $\csc (x)$ dengan $1$ .

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + \csc (x) (\csc (x) \cot (x)) + 4 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Langkah 1.6.3.1.2.3

Naikkan $\csc (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + \csc^{1} (x) \csc (x) \cot (x) + 4 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Langkah 1.6.3.1.2.4

Naikkan $\csc (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + \csc^{1} (x) \csc^{1} (x) \cot (x) + 4 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Langkah 1.6.3.1.2.5

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + {\csc (x)}^{1 + 1} \cot (x) + 4 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Langkah 1.6.3.1.2.6

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) + 4 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Langkah 1.6.3.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - 4 (\csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Langkah 1.6.3.1.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - 4 \csc (x) \cot (x) - \csc (x) \csc (x) \cot (x)}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Langkah 1.6.3.1.5

Kalikan $- \csc (x) \csc (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.3.1.5.1

Naikkan $\csc (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - 4 \csc (x) \cot (x) - (\csc^{1} (x) \csc (x)) \cot (x)}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Langkah 1.6.3.1.5.2

Naikkan $\csc (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - 4 \csc (x) \cot (x) - (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)) \cot (x)}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Langkah 1.6.3.1.5.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - 4 \csc (x) \cot (x) - {\csc (x)}^{1 + 1} \cot (x)}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Langkah 1.6.3.1.5.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - 4 \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x) \cot (x)}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Langkah 1.6.3.2

Gabungkan suku balikan dalam $- 8 \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - 4 \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x) \cot (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.3.2.1

Kurangi $\csc^{2} (x) \cot (x)$ dengan $\csc^{2} (x) \cot (x)$ .

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) - 4 \csc (x) \cot (x) + 0}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Langkah 1.6.3.2.2

Tambahkan $- 8 \csc (x) \cot (x) - 4 \csc (x) \cot (x)$ dan $0$ .

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) - 4 \csc (x) \cot (x)}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Langkah 1.6.3.3

Kurangi $4 \csc (x) \cot (x)$ dengan $- 8 \csc (x) \cot (x)$ .

$\frac{- 12 \csc (x) \cot (x)}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Langkah 1.6.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{12 \csc (x) \cot (x)}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Langkah 1.7

Evaluasi turunan pada $x = \frac{π}{6}$ .

$- \frac{12 \csc (\frac{π}{6}) \cot (\frac{π}{6})}{{(8 - \csc (\frac{π}{6}))}^{2}}$

Langkah 1.8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.1.1

Nilai eksak dari $\csc (\frac{π}{6})$ adalah $2$ .

$- \frac{12 \cdot 2 \cot (\frac{π}{6})}{{(8 - \csc (\frac{π}{6}))}^{2}}$

Langkah 1.8.1.2

Nilai eksak dari $\cot (\frac{π}{6})$ adalah $\sqrt{3}$ .

$- \frac{12 \cdot 2 \sqrt{3}}{{(8 - \csc (\frac{π}{6}))}^{2}}$

Langkah 1.8.1.3

Kalikan $12$ dengan $2$ .

$- \frac{24 \sqrt{3}}{{(8 - \csc (\frac{π}{6}))}^{2}}$

Langkah 1.8.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.2.1

Nilai eksak dari $\csc (\frac{π}{6})$ adalah $2$ .

$- \frac{24 \sqrt{3}}{{(8 - 1 \cdot 2)}^{2}}$

Langkah 1.8.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- \frac{24 \sqrt{3}}{{(8 - 2)}^{2}}$

Langkah 1.8.2.3

Kurangi $2$ dengan $8$ .

$- \frac{24 \sqrt{3}}{6^{2}}$

Langkah 1.8.2.4

Naikkan $6$ menjadi pangkat $2$ .

$- \frac{24 \sqrt{3}}{36}$

Langkah 1.8.3

Hapus faktor persekutuan dari $24$ dan $36$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.3.1

Faktorkan $12$ dari $24 \sqrt{3}$ .

$- \frac{12 (2 \sqrt{3})}{36}$

Langkah 1.8.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.3.2.1

Faktorkan $12$ dari $36$ .

$- \frac{12 (2 \sqrt{3})}{12 (3)}$

Langkah 1.8.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{12 (2 \sqrt{3})}{12 \cdot 3}$

Langkah 1.8.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Langkah 2

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan gradien $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ dan titik yang diberikan $(\frac{π}{6}, 1)$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot (x - (\frac{π}{6}))$

Langkah 2.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y - 1 = - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$

Langkah 2.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan $- \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tulis kembali.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$

Langkah 2.3.1.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.2.1

Terapkan sifat distributif.

$y - 1 = - \frac{2 \sqrt{3}}{3} x - \frac{2 \sqrt{3}}{3} (- \frac{π}{6})$

Langkah 2.3.1.2.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$y - 1 = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{3} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} (- \frac{π}{6})$

Langkah 2.3.1.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.2.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ke dalam pembilangnya.

$y - 1 = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{3} + \frac{- 2 \sqrt{3}}{3} (- \frac{π}{6})$

Langkah 2.3.1.2.3.2

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{π}{6}$ ke dalam pembilangnya.

$y - 1 = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{3} + \frac{- 2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{- π}{6}$

Langkah 2.3.1.2.3.3

Faktorkan $2$ dari $- 2 \sqrt{3}$ .

$y - 1 = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{3} + \frac{2 (- \sqrt{3})}{3} \cdot \frac{- π}{6}$

Langkah 2.3.1.2.3.4

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$y - 1 = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{3} + \frac{2 (- \sqrt{3})}{3} \cdot \frac{- π}{2 (3)}$

Langkah 2.3.1.2.3.5

Batalkan faktor persekutuan.

$y - 1 = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{3} + \frac{2 (- \sqrt{3})}{3} \cdot \frac{- π}{2 \cdot 3}$

Langkah 2.3.1.2.3.6

Tulis kembali pernyataannya.

$y - 1 = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{3} + \frac{- \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{- π}{3}$

Langkah 2.3.1.2.4

Kalikan $\frac{- \sqrt{3}}{3}$ dengan $\frac{- π}{3}$ .

$y - 1 = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{3} + \frac{- \sqrt{3} (- π)}{3 \cdot 3}$

Langkah 2.3.1.2.5

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.2.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{3} + \frac{1 \sqrt{3} π}{3 \cdot 3}$

Langkah 2.3.1.2.5.2

Kalikan $\sqrt{3}$ dengan $1$ .

$y - 1 = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{3} + \frac{\sqrt{3} π}{3 \cdot 3}$

Langkah 2.3.1.2.5.3

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$y - 1 = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{3} + \frac{\sqrt{3} π}{9}$

Langkah 2.3.1.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x$ .

$y - 1 = - \frac{2 x \sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3} π}{9}$

Langkah 2.3.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$y = - \frac{2 x \sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3} π}{9} + 1$

Langkah 2.3.3

Tulis dalam bentuk $y = m x + b$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$y = - \frac{2 x \sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3} π}{9} + \frac{9}{9}$

Langkah 2.3.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = - \frac{2 x \sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3} π + 9}{9}$

Langkah 2.3.3.3

Susun kembali suku-suku.

$y = - (\frac{2 \sqrt{3}}{3} x) + \frac{\sqrt{3} π + 9}{9}$

Langkah 2.3.3.4

Hilangkan tanda kurung.

$y = - \frac{2 \sqrt{3}}{3} x + \frac{\sqrt{3} π + 9}{9}$

Langkah 3