Kalkulus Contoh

$7 x^{2} + 6 x y + 9 y^{2} + 11 y - 7 = 0$ , $(1, 0)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = 1$ dan $y = 0$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (7 x^{2} + 6 x y + 9 y^{2} + 11 y - 7) = \frac{d}{d x} (0)$

Langkah 1.2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $7 x^{2} + 6 x y + 9 y^{2} + 11 y - 7$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [9 y^{2}] + \frac{d}{d x} [11 y] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [9 y^{2}] + \frac{d}{d x} [11 y] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Langkah 1.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [7 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Karena $7$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $7 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [9 y^{2}] + \frac{d}{d x} [11 y] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Langkah 1.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$7 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [9 y^{2}] + \frac{d}{d x} [11 y] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Langkah 1.2.2.3

Kalikan $2$ dengan $7$ .

$14 x + \frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [9 y^{2}] + \frac{d}{d x} [11 y] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Langkah 1.2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [6 x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6 x y$ terhadap $x$ adalah $6 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$14 x + 6 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [9 y^{2}] + \frac{d}{d x} [11 y] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Langkah 1.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = y$ .

$14 x + 6 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [9 y^{2}] + \frac{d}{d x} [11 y] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Langkah 1.2.3.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$14 x + 6 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [9 y^{2}] + \frac{d}{d x} [11 y] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Langkah 1.2.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$14 x + 6 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [9 y^{2}] + \frac{d}{d x} [11 y] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Langkah 1.2.3.5

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$14 x + 6 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [9 y^{2}] + \frac{d}{d x} [11 y] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Langkah 1.2.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [9 y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Karena $9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $9 y^{2}$ terhadap $x$ adalah $9 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$14 x + 6 (x y' + y) + 9 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [11 y] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Langkah 1.2.4.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$14 x + 6 (x y' + y) + 9 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [11 y] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Langkah 1.2.4.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$14 x + 6 (x y' + y) + 9 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [11 y] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Langkah 1.2.4.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$14 x + 6 (x y' + y) + 9 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [11 y] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Langkah 1.2.4.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$14 x + 6 (x y' + y) + 9 (2 y y') + \frac{d}{d x} [11 y] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Langkah 1.2.4.4

Kalikan $2$ dengan $9$ .

$14 x + 6 (x y' + y) + 18 y y' + \frac{d}{d x} [11 y] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Langkah 1.2.5

Evaluasi $\frac{d}{d x} [11 y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Karena $11$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $11 y$ terhadap $x$ adalah $11 \frac{d}{d x} [y]$ .

$14 x + 6 (x y' + y) + 18 y y' + 11 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Langkah 1.2.5.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$14 x + 6 (x y' + y) + 18 y y' + 11 y' + \frac{d}{d x} [- 7]$

Langkah 1.2.6

Karena $- 7$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 7$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$14 x + 6 (x y' + y) + 18 y y' + 11 y' + 0$

Langkah 1.2.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.7.1

Terapkan sifat distributif.

$14 x + 6 (x y') + 6 y + 18 y y' + 11 y' + 0$

Langkah 1.2.7.2

Tambahkan $14 x + 6 x y' + 6 y + 18 y y' + 11 y'$ dan $0$ .

$14 x + 6 x y' + 6 y + 18 y y' + 11 y'$

Langkah 1.2.7.3

Susun kembali suku-suku.

$6 x y' + 18 y y' + 14 x + 6 y + 11 y'$

Langkah 1.3

Karena $0$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $0$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 1.4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$6 x y' + 18 y y' + 14 x + 6 y + 11 y' = 0$

Langkah 1.5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y'$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1

Kurangkan $14 x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$6 x y' + 18 y y' + 6 y + 11 y' = - 14 x$

Langkah 1.5.1.2

Kurangkan $6 y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$6 x y' + 18 y y' + 11 y' = - 14 x - 6 y$

Langkah 1.5.2

Faktorkan $y'$ dari $6 x y' + 18 y y' + 11 y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1

Faktorkan $y'$ dari $6 x y'$ .

$y' (6 x) + 18 y y' + 11 y' = - 14 x - 6 y$

Langkah 1.5.2.2

Faktorkan $y'$ dari $18 y y'$ .

$y' (6 x) + y' (18 y) + 11 y' = - 14 x - 6 y$

Langkah 1.5.2.3

Faktorkan $y'$ dari $11 y'$ .

$y' (6 x) + y' (18 y) + y' \cdot 11 = - 14 x - 6 y$

Langkah 1.5.2.4

Faktorkan $y'$ dari $y' (6 x) + y' (18 y)$ .

$y' (6 x + 18 y) + y' \cdot 11 = - 14 x - 6 y$

Langkah 1.5.2.5

Faktorkan $y'$ dari $y' (6 x + 18 y) + y' \cdot 11$ .

$y' (6 x + 18 y + 11) = - 14 x - 6 y$

Langkah 1.5.3

Bagi setiap suku pada $y' (6 x + 18 y + 11) = - 14 x - 6 y$ dengan $6 x + 18 y + 11$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.1

Bagilah setiap suku di $y' (6 x + 18 y + 11) = - 14 x - 6 y$ dengan $6 x + 18 y + 11$ .

$\frac{y' (6 x + 18 y + 11)}{6 x + 18 y + 11} = \frac{- 14 x}{6 x + 18 y + 11} + \frac{- 6 y}{6 x + 18 y + 11}$

Langkah 1.5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $6 x + 18 y + 11$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (6 x + 18 y + 11)}{6 x + 18 y + 11} = \frac{- 14 x}{6 x + 18 y + 11} + \frac{- 6 y}{6 x + 18 y + 11}$

Langkah 1.5.3.2.1.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- 14 x}{6 x + 18 y + 11} + \frac{- 6 y}{6 x + 18 y + 11}$

Langkah 1.5.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{- 14 x - 6 y}{6 x + 18 y + 11}$

Langkah 1.5.3.3.2

Faktorkan $2$ dari $- 14 x - 6 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 14 x$ .

$y' = \frac{2 (- 7 x) - 6 y}{6 x + 18 y + 11}$

Langkah 1.5.3.3.2.2

Faktorkan $2$ dari $- 6 y$ .

$y' = \frac{2 (- 7 x) + 2 (- 3 y)}{6 x + 18 y + 11}$

Langkah 1.5.3.3.2.3

Faktorkan $2$ dari $2 (- 7 x) + 2 (- 3 y)$ .

$y' = \frac{2 (- 7 x - 3 y)}{6 x + 18 y + 11}$

Langkah 1.5.3.3.3

Faktorkan $- 1$ dari $- 7 x$ .

$y' = \frac{2 (- (7 x) - 3 y)}{6 x + 18 y + 11}$

Langkah 1.5.3.3.4

Faktorkan $- 1$ dari $- 3 y$ .

$y' = \frac{2 (- (7 x) - (3 y))}{6 x + 18 y + 11}$

Langkah 1.5.3.3.5

Faktorkan $- 1$ dari $- (7 x) - (3 y)$ .

$y' = \frac{2 (- (7 x + 3 y))}{6 x + 18 y + 11}$

Langkah 1.5.3.3.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.3.6.1

Tulis kembali $- (7 x + 3 y)$ sebagai $- 1 (7 x + 3 y)$ .

$y' = \frac{2 (- 1 (7 x + 3 y))}{6 x + 18 y + 11}$

Langkah 1.5.3.3.6.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{2 (7 x + 3 y)}{6 x + 18 y + 11}$

Langkah 1.6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 (7 x + 3 y)}{6 x + 18 y + 11}$

Langkah 1.7

Evaluasi pada $x = 1$ dan $y = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$- \frac{2 (7 (1) + 3 y)}{6 (1) + 18 y + 11}$

Langkah 1.7.2

Ganti variabel $y$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$- \frac{2 (7 (1) + 3 (0))}{6 (1) + 18 (0) + 11}$

Langkah 1.7.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.3.1

Kalikan $7$ dengan $1$ .

$- \frac{2 (7 + 3 (0))}{6 (1) + 18 (0) + 11}$

Langkah 1.7.3.2

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$- \frac{2 (7 + 0)}{6 (1) + 18 (0) + 11}$

Langkah 1.7.3.3

Tambahkan $7$ dan $0$ .

$- \frac{2 \cdot 7}{6 (1) + 18 (0) + 11}$

Langkah 1.7.4

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.4.1

Kalikan $6$ dengan $1$ .

$- \frac{2 \cdot 7}{6 + 18 (0) + 11}$

Langkah 1.7.4.2

Kalikan $18$ dengan $0$ .

$- \frac{2 \cdot 7}{6 + 0 + 11}$

Langkah 1.7.4.3

Tambahkan $6$ dan $0$ .

$- \frac{2 \cdot 7}{6 + 11}$

Langkah 1.7.4.4

Tambahkan $6$ dan $11$ .

$- \frac{2 \cdot 7}{17}$

Langkah 1.7.5

Kalikan $2$ dengan $7$ .

$- \frac{14}{17}$

Langkah 2

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan gradien $- \frac{14}{17}$ dan titik yang diberikan $(1, 0)$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = - \frac{14}{17} \cdot (x - (1))$

Langkah 2.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y + 0 = - \frac{14}{17} \cdot (x - 1)$

Langkah 2.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Tambahkan $y$ dan $0$ .

$y = - \frac{14}{17} \cdot (x - 1)$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan $- \frac{14}{17} \cdot (x - 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Terapkan sifat distributif.

$y = - \frac{14}{17} x - \frac{14}{17} \cdot - 1$

Langkah 2.3.2.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{14}{17}$ .

$y = - \frac{x \cdot 14}{17} - \frac{14}{17} \cdot - 1$

Langkah 2.3.2.3

Kalikan $- \frac{14}{17} \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 14}{17} + 1 (\frac{14}{17})$

Langkah 2.3.2.3.2

Kalikan $\frac{14}{17}$ dengan $1$ .

$y = - \frac{x \cdot 14}{17} + \frac{14}{17}$

Langkah 2.3.2.4

Pindahkan $14$ ke sebelah kiri $x$ .

$y = - \frac{14 x}{17} + \frac{14}{17}$

Langkah 2.3.3

Tulis dalam bentuk $y = m x + b$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Susun kembali suku-suku.

$y = - (\frac{14}{17} x) + \frac{14}{17}$

Langkah 2.3.3.2

Hilangkan tanda kurung.

$y = - \frac{14}{17} x + \frac{14}{17}$

Langkah 3