Kalkulus Contoh

$\sin (\sqrt{x})$

Langkah 1

Tulis $\sin (\sqrt{x})$ sebagai fungsi.

$f (x) = \sin (\sqrt{x})$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int \sin (\sqrt{x}) d x$

Langkah 4

Biarkan $u = \sqrt{x}$ . Kemudian $d u = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ sehingga $2 x^{\frac{1}{2}} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

$\int 2 u \sin (u) d u$

Langkah 5

Karena $2$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$2 \int u \sin (u) d u$

Langkah 6

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int w d v = w v - \int v d w$ , di mana $w = u$ dan $dv = \sin (u)$ .

$2 (u (- \cos (u)) - \int - \cos (u) d u)$

Langkah 7

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$2 (u (- \cos (u)) - - \int \cos (u) d u)$

Langkah 8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$2 (u (- \cos (u)) + 1 \int \cos (u) d u)$

Langkah 8.2

Kalikan $\int \cos (u) d u$ dengan $1$ .

$2 (u (- \cos (u)) + \int \cos (u) d u)$

Langkah 9

Integral dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $\sin (u)$ .

$2 (u (- \cos (u)) + \sin (u) + C)$

Langkah 10

Tulis kembali $2 (u (- \cos (u)) + \sin (u) + C)$ sebagai $2 (- u \cos (u) + \sin (u)) + C$ .

$2 (- u \cos (u) + \sin (u)) + C$

Langkah 11

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\sqrt{x}$ .

$2 (- \sqrt{x} \cos (\sqrt{x}) + \sin (\sqrt{x})) + C$

Langkah 12

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = \sin (\sqrt{x})$ .

$F (x) =$ $2 (- \sqrt{x} \cos (\sqrt{x}) + \sin (\sqrt{x})) + C$