Kalkulus Contoh

$\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x}$

Langkah 1

Tulis $\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x}$ sebagai fungsi.

$f (x) = \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x}$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x} d x$

Langkah 4

Biarkan $x = \tan (t)$ , di mana $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Kemudian $d x = \sec^{2} (t) d t$ . Perhatikan bahwa karena $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec^{2} (t)$ positif.

$\int \frac{\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}}{\tan (t)} \sec^{2} (t) d t$

Langkah 5

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Sederhanakan $\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Terapkan identitas pythagoras.

$\int \frac{\sqrt{\sec^{2} (t)}}{\tan (t)} \sec^{2} (t) d t$

Langkah 5.1.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\int \frac{\sec (t)}{\tan (t)} \sec^{2} (t) d t$

Langkah 5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Tulis kembali $\tan (t)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$\int \frac{\sec (t)}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} \sec^{2} (t) d t$

Langkah 5.2.2

Tulis kembali $\sec (t)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$\int \frac{\frac{1}{\cos (t)}}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} \sec^{2} (t) d t$

Langkah 5.2.3

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ .

$\int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} \sec^{2} (t) d t$

Langkah 5.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $\cos (t)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} \sec^{2} (t) d t$

Langkah 5.2.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\int \frac{1}{\sin (t)} \sec^{2} (t) d t$

Langkah 5.2.5

Konversikan dari $\frac{1}{\sin (t)}$ ke $\csc (t)$ .

$\int \csc (t) \sec^{2} (t) d t$

Langkah 6

Naikkan $\csc (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$\int \csc^{1} (t) \sec^{2} (t) d t$

Langkah 7

Menggunakan Identitas Pythagoras, tulis kembali $\sec^{2} (t)$ sebagai $1 + \tan^{2} (t)$ .

$\int \csc^{1} (t) (1 + \tan^{2} (t)) d t$

Langkah 8

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Terapkan sifat distributif.

$\int \csc^{1} (t) \cdot 1 + \csc^{1} (t) \tan^{2} (t) d t$

Langkah 8.2

Sederhanakan setiap suku.

$\int \csc (t) + \csc (t) \tan^{2} (t) d t$

Langkah 9

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int \csc (t) d t + \int \csc (t) \tan^{2} (t) d t$

Langkah 10

Integral dari $\csc (t)$ terhadap $t$ adalah $\ln (| \csc (t) - \cot (t) |)$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \csc (t) \tan^{2} (t) d t$

Langkah 11

Terapkan identitas timbal balik ke $\csc (t)$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{1}{\sin (t)} \tan^{2} (t) d t$

Langkah 12

Tulis $\tan (t)$ dalam sinus dan kosinus menggunakan identitas hasil bagi.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{1}{\sin (t)} {(\frac{\sin (t)}{\cos (t)})}^{2} d t$

Langkah 13

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{1}{\sin (t)} \cdot \frac{{\sin (t)}^{2}}{{\cos (t)}^{2}} d t$

Langkah 13.2

Gabungkan.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{1 {\sin (t)}^{2}}{\sin (t) {\cos (t)}^{2}} d t$

Langkah 13.3

Hapus faktor persekutuan dari ${\sin (t)}^{2}$ dan $\sin (t)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.3.1

Faktorkan $\sin (t)$ dari $1 {\sin (t)}^{2}$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t) (1 \sin (t))}{\sin (t) {\cos (t)}^{2}} d t$

Langkah 13.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.3.2.1

Faktorkan $\sin (t)$ dari $\sin (t) {\cos (t)}^{2}$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t) (1 \sin (t))}{\sin (t) ({\cos (t)}^{2})} d t$

Langkah 13.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t) (1 \sin (t))}{\sin (t) {\cos (t)}^{2}} d t$

Langkah 13.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{1 \sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} d t$

Langkah 13.4

Kalikan $\sin (t)$ dengan $1$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t)}{\cos^{2} (t)} d t$

Langkah 14

Kalikan dengan $1$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t) \cdot 1}{\cos^{2} (t)} d t$

Langkah 15

Faktorkan $\cos (t)$ dari $\cos^{2} (t)$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t) \cdot 1}{\cos (t) \cos (t)} d t$

Langkah 16

Pisahkan pecahan.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\cos (t)} d t$

Langkah 17

Konversikan dari $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ ke $\tan (t)$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \tan (t) \frac{1}{\cos (t)} d t$

Langkah 18

Konversikan dari $\frac{1}{\cos (t)}$ ke $\sec (t)$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \tan (t) \sec (t) d t$

Langkah 19

Karena turunan dari $\sec (t)$ adalah $\tan (t) \sec (t)$ , maka integral dari $\tan (t) \sec (t)$ adalah $\sec (t)$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \sec (t) + C$

Langkah 20

Sederhanakan.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + \sec (t) + C$

Langkah 21

Ganti semua kemunculan $t$ dengan $\arctan (x)$ .

$\ln (| \csc (\arctan (x)) - \cot (\arctan (x)) |) + \sec (\arctan (x)) + C$

Langkah 22

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x}$ .

$F (x) =$ $\ln (| \csc (\arctan (x)) - \cot (\arctan (x)) |) + \sec (\arctan (x)) + C$