Kalkulus Contoh

$\sqrt{2 - x^{2}}$

Langkah 1

Tulis $\sqrt{2 - x^{2}}$ sebagai fungsi.

$f (x) = \sqrt{2 - x^{2}}$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int \sqrt{2 - x^{2}} d x$

Langkah 4

Biarkan $x = \sqrt{2} \sin (t)$ , di mana $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Kemudian $d x = \sqrt{2} \cos (t) d t$ . Perhatikan bahwa karena $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sqrt{2} \cos (t)$ positif.

$\int \sqrt{{\sqrt{2}}^{2} - {(\sqrt{2} \sin (t))}^{2}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Langkah 5

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Sederhanakan $\sqrt{{\sqrt{2}}^{2} - {(\sqrt{2} \sin (t))}^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\sqrt{2} \sin (t)$ .

$\int \sqrt{{\sqrt{2}}^{2} - ({\sqrt{2}}^{2} \sin^{2} (t))} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Langkah 5.1.2

Kalikan dengan $1$ .

$\int \sqrt{{\sqrt{2}}^{2} \cdot 1 - ({\sqrt{2}}^{2} \sin^{2} (t))} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Langkah 5.1.3

Faktorkan ${\sqrt{2}}^{2}$ dari $- ({\sqrt{2}}^{2} \sin^{2} (t))$ .

$\int \sqrt{{\sqrt{2}}^{2} \cdot 1 + {\sqrt{2}}^{2} (- (\sin^{2} (t)))} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Langkah 5.1.4

Faktorkan ${\sqrt{2}}^{2}$ dari ${\sqrt{2}}^{2} \cdot 1 + {\sqrt{2}}^{2} (- (\sin^{2} (t)))$ .

$\int \sqrt{{\sqrt{2}}^{2} \cdot (1 - (\sin^{2} (t)))} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Langkah 5.1.5

Terapkan identitas pythagoras.

$\int \sqrt{{\sqrt{2}}^{2} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Langkah 5.1.6

Tulis kembali ${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \sqrt{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Langkah 5.1.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Langkah 5.1.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\int \sqrt{2^{\frac{2}{2}} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Langkah 5.1.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\int \sqrt{2^{\frac{2}{2}} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Langkah 5.1.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\int \sqrt{2^{1} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Langkah 5.1.6.5

Evaluasi eksponennya.

$\int \sqrt{2 \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

$\int \sqrt{2 \cos^{2} (t)} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Langkah 5.1.7

Susun kembali $2$ dan $\cos^{2} (t)$ .

$\int \sqrt{\cos^{2} (t) \cdot 2} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Langkah 5.1.8

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$\int \cos (t) \sqrt{2} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Langkah 5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Naikkan $\cos (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$\int \cos^{1} (t) \cos (t) \sqrt{2} \sqrt{2} d t$

Langkah 5.2.2

Naikkan $\cos (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$\int \cos^{1} (t) \cos^{1} (t) \sqrt{2} \sqrt{2} d t$

Langkah 5.2.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int {\cos (t)}^{1 + 1} \sqrt{2} \sqrt{2} d t$

Langkah 5.2.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\int \cos^{2} (t) \sqrt{2} \sqrt{2} d t$

Langkah 5.2.5

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$\int \cos^{2} (t) ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) d t$

Langkah 5.2.6

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$\int \cos^{2} (t) ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) d t$

Langkah 5.2.7

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int \cos^{2} (t) {\sqrt{2}}^{1 + 1} d t$

Langkah 5.2.8

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\int \cos^{2} (t) {\sqrt{2}}^{2} d t$

Langkah 5.2.9

Tulis kembali ${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.9.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \cos^{2} (t) {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} d t$

Langkah 5.2.9.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \cos^{2} (t) \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} d t$

Langkah 5.2.9.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\int \cos^{2} (t) \cdot 2^{\frac{2}{2}} d t$

Langkah 5.2.9.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.9.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\int \cos^{2} (t) \cdot 2^{\frac{2}{2}} d t$

Langkah 5.2.9.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\int \cos^{2} (t) \cdot 2^{1} d t$

Langkah 5.2.9.5

Evaluasi eksponennya.

$\int \cos^{2} (t) \cdot 2 d t$

Langkah 5.2.10

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\cos^{2} (t)$ .

$\int 2 \cos^{2} (t) d t$

Langkah 6

Karena $2$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$2 \int \cos^{2} (t) d t$

Langkah 7

Gunakan rumus setengah sudut untuk menuliskan kembali $\cos^{2} (t)$ sebagai $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$2 \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Langkah 8

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$2 (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

Langkah 9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{2}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Langkah 9.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Langkah 9.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 \int 1 + \cos (2 t) d t$

Langkah 9.3

Kalikan $\int 1 + \cos (2 t) d t$ dengan $1$ .

$\int 1 + \cos (2 t) d t$

Langkah 10

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int d t + \int \cos (2 t) d t$

Langkah 11

Terapkan aturan konstanta.

$t + C + \int \cos (2 t) d t$

Langkah 12

Biarkan $u = 2 t$ . Kemudian $d u = 2 d t$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d t$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Biarkan $u = 2 t$ . Tentukan $\frac{d u}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Diferensialkan $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Langkah 12.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $2 t$ terhadap $t$ adalah $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 12.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 12.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 12.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Langkah 13

Gabungkan $\cos (u)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u$

Langkah 14

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u$

Langkah 15

Integral dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $\sin (u)$ .

$t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C)$

Langkah 16

Sederhanakan.

$t + \frac{1}{2} \sin (u) + C$

Langkah 17

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1

Ganti semua kemunculan $t$ dengan $\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})$ .

$\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (u) + C$

Langkah 17.2

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 t$ .

$\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 t) + C$

Langkah 17.3

Ganti semua kemunculan $t$ dengan $\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})$ .

$\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

Langkah 18

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.1

Kalikan $\frac{x}{\sqrt{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

Langkah 18.2

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.2.1

Kalikan $\frac{x}{\sqrt{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

Langkah 18.2.2

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

Langkah 18.2.3

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

Langkah 18.2.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

Langkah 18.2.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

Langkah 18.2.6

Tulis kembali ${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.2.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

Langkah 18.2.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

Langkah 18.2.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

Langkah 18.2.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.2.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

Langkah 18.2.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2^{1}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

Langkah 18.2.6.5

Evaluasi eksponennya.

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

Langkah 18.3

Kalikan $\frac{x}{\sqrt{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})) + C$

Langkah 18.4

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.4.1

Kalikan $\frac{x}{\sqrt{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})) + C$

Langkah 18.4.2

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})) + C$

Langkah 18.4.3

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})) + C$

Langkah 18.4.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})) + C$

Langkah 18.4.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})) + C$

Langkah 18.4.6

Tulis kembali ${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.4.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})) + C$

Langkah 18.4.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})) + C$

Langkah 18.4.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})) + C$

Langkah 18.4.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.4.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})) + C$

Langkah 18.4.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2^{1}})) + C$

Langkah 18.4.6.5

Evaluasi eksponennya.

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})) + C$

Langkah 18.5

Susun kembali suku-suku.

$\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2} x) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2} x)) + C$

Langkah 19

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = \sqrt{2 - x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2} x) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2} x)) + C$