Kalkulus Contoh

${(1 + \frac{1}{x})}^{2}$

Langkah 1

Tulis ${(1 + \frac{1}{x})}^{2}$ sebagai fungsi.

$f (x) = {(1 + \frac{1}{x})}^{2}$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int {(1 + \frac{1}{x})}^{2} d x$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali ${(1 + \frac{1}{x})}^{2}$ sebagai $(1 + \frac{1}{x}) (1 + \frac{1}{x})$ .

$\int (1 + \frac{1}{x}) (1 + \frac{1}{x}) d x$

Langkah 4.2

Perluas $(1 + \frac{1}{x}) (1 + \frac{1}{x})$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\int 1 (1 + \frac{1}{x}) + \frac{1}{x} (1 + \frac{1}{x}) d x$

Langkah 4.2.2

Terapkan sifat distributif.

$\int 1 \cdot 1 + 1 \frac{1}{x} + \frac{1}{x} (1 + \frac{1}{x}) d x$

Langkah 4.2.3

Terapkan sifat distributif.

$\int 1 \cdot 1 + 1 \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.1

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$\int 1 + 1 \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.3.1.2

Kalikan $\frac{1}{x}$ dengan $1$ .

$\int 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.3.1.3

Kalikan $\frac{1}{x}$ dengan $1$ .

$\int 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.3.1.4

Kalikan $\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.4.1

Kalikan $\frac{1}{x}$ dengan $\frac{1}{x}$ .

$\int 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x \cdot x} d x$

Langkah 4.3.1.4.2

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\int 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{1} x} d x$

Langkah 4.3.1.4.3

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\int 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{1} x^{1}} d x$

Langkah 4.3.1.4.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{1 + 1}} d x$

Langkah 4.3.1.4.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\int 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 4.3.2

Tambahkan $\frac{1}{x}$ dan $\frac{1}{x}$ .

$\int 1 + 2 \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 4.4

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{x}$ .

$\int 1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 5

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int d x + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 6

Terapkan aturan konstanta.

$x + C + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 7

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$x + C + 2 \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 8

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$x + C + 2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 9

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Pindahkan $x^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$x + C + 2 (\ln (| x |) + C) + \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Langkah 9.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x + C + 2 (\ln (| x |) + C) + \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Langkah 9.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$x + C + 2 (\ln (| x |) + C) + \int x^{- 2} d x$

Langkah 10

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{- 2}$ terhadap $x$ adalah $- x^{- 1}$ .

$x + C + 2 (\ln (| x |) + C) - x^{- 1} + C$

Langkah 11

Sederhanakan.

$x + 2 \ln (| x |) - \frac{1}{x} + C$

Langkah 12

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = {(1 + \frac{1}{x})}^{2}$ .

$F (x) =$ $x + 2 \ln (| x |) - \frac{1}{x} + C$