Kalkulus Contoh

$\tan^{-1} (π x)$

Langkah 1

Tulis $\tan^{-1} (π x)$ sebagai fungsi.

$f (x) = \tan^{-1} (π x)$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int \tan^{-1} (π x) d x$

Langkah 4

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = \tan^{-1} (π x)$ dan $d v = 1$ .

$\tan^{-1} (π x) x - \int x \frac{π}{π^{2} x^{2} + 1} d x$

Langkah 5

Gabungkan $x$ dan $\frac{π}{π^{2} x^{2} + 1}$ .

$\tan^{-1} (π x) x - \int \frac{x π}{π^{2} x^{2} + 1} d x$

Langkah 6

Karena $π$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $π$ keluar dari integral.

$\tan^{-1} (π x) x - (π \int \frac{x}{π^{2} x^{2} + 1} d x)$

Langkah 7

Biarkan $u = π^{2} x^{2} + 1$ . Kemudian $d u = 2 \cdot x π^{2} d x$ sehingga $\frac{1}{2 π^{2}} d u = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Biarkan $u = π^{2} x^{2} + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Diferensialkan $π^{2} x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [π^{2} x^{2} + 1]$

Langkah 7.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $π^{2} x^{2} + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [π^{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [π^{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 7.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [π^{2} x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.3.1

Karena $π^{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $π^{2} x^{2}$ terhadap $x$ adalah $π^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$π^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 7.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$π^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 7.1.3.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $π^{2}$ .

$2 π^{2} x + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 7.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.4.1

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 π^{2} x + 0$

Langkah 7.1.4.2

Tambahkan $2 π^{2} x$ dan $0$ .

$2 π^{2} x$

Langkah 7.1.5

Susun kembali $2 π^{2}$ dan $x$ .

$x (2 π^{2})$

Langkah 7.1.6

Susun kembali $x$ dan $2$ .

$2 \cdot x π^{2}$

Langkah 7.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\tan^{-1} (π x) x - π \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2 π^{2}} d u$

Langkah 8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Kalikan $\frac{1}{u}$ dengan $\frac{1}{2 π^{2}}$ .

$\tan^{-1} (π x) x - π \int \frac{1}{u (2 π^{2})} d u$

Langkah 8.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u$ .

$\tan^{-1} (π x) x - π \int \frac{1}{2 u π^{2}} d u$

Langkah 9

Karena $\frac{1}{2 π^{2}}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2 π^{2}}$ keluar dari integral.

$\tan^{-1} (π x) x - π (\frac{1}{2 π^{2}} \int \frac{1}{u} d u)$

Langkah 10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Gabungkan $\frac{1}{2 π^{2}}$ dan $π$ .

$\tan^{-1} (π x) x - \frac{π}{2 π^{2}} \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 10.2

Hapus faktor persekutuan dari $π$ dan $π^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$\tan^{-1} (π x) x - \frac{π \cdot 1}{2 π^{2}} \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 10.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.2.1

Faktorkan $π$ dari $2 π^{2}$ .

$\tan^{-1} (π x) x - \frac{π \cdot 1}{π (2 π)} \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 10.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\tan^{-1} (π x) x - \frac{π \cdot 1}{π (2 π)} \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 10.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\tan^{-1} (π x) x - \frac{1}{2 π} \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 11

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\tan^{-1} (π x) x - \frac{1}{2 π} (\ln (| u |) + C)$

Langkah 12

Sederhanakan.

$\tan^{-1} (π x) x - \frac{1}{2 π} \ln (| u |) + C$

Langkah 13

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $π^{2} x^{2} + 1$ .

$\tan^{-1} (π x) x - \frac{1}{2 π} \ln (| π^{2} x^{2} + 1 |) + C$

Langkah 14

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = \tan^{-1} (π x)$ .

$F (x) =$ $\tan^{-1} (π x) x - \frac{1}{2 π} \ln (| π^{2} x^{2} + 1 |) + C$