Kalkulus Contoh

$\cos (π x) + 6 \sin (\frac{x}{6})$

Langkah 1

Tulis $\cos (π x) + 6 \sin (\frac{x}{6})$ sebagai fungsi.

$f (x) = \cos (π x) + 6 \sin (\frac{x}{6})$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int \cos (π x) + 6 \sin (\frac{x}{6}) d x$

Langkah 4

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int \cos (π x) d x + \int 6 \sin (\frac{x}{6}) d x$

Langkah 5

Biarkan $u_{1} = π x$ . Kemudian $d u_{1} = π d x$ sehingga $\frac{1}{π} d u_{1} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Biarkan $u_{1} = π x$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Diferensialkan $π x$ .

$\frac{d}{d x} [π x]$

Langkah 5.1.2

Karena $π$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $π x$ terhadap $x$ adalah $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$π \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 5.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$π \cdot 1$

Langkah 5.1.4

Kalikan $π$ dengan $1$ .

$π$

Langkah 5.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$\int \cos (u_{1}) \frac{1}{π} d u_{1} + \int 6 \sin (\frac{x}{6}) d x$

Langkah 6

Gabungkan $\cos (u_{1})$ dan $\frac{1}{π}$ .

$\int \frac{\cos (u_{1})}{π} d u_{1} + \int 6 \sin (\frac{x}{6}) d x$

Langkah 7

Karena $\frac{1}{π}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{π}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{π} \int \cos (u_{1}) d u_{1} + \int 6 \sin (\frac{x}{6}) d x$

Langkah 8

Integral dari $\cos (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\sin (u_{1})$ .

$\frac{1}{π} (\sin (u_{1}) + C) + \int 6 \sin (\frac{x}{6}) d x$

Langkah 9

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $6$ keluar dari integral.

$\frac{1}{π} (\sin (u_{1}) + C) + 6 \int \sin (\frac{x}{6}) d x$

Langkah 10

Biarkan $u_{2} = \frac{x}{6}$ . Kemudian $d u_{2} = \frac{1}{6} d x$ sehingga $6 d u_{2} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Biarkan $u_{2} = \frac{x}{6}$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1

Diferensialkan $\frac{x}{6}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{6}]$

Langkah 10.1.2

Karena $\frac{1}{6}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x}{6}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 10.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{6} \cdot 1$

Langkah 10.1.4

Kalikan $\frac{1}{6}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{6}$

Langkah 10.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\frac{1}{π} (\sin (u_{1}) + C) + 6 \int \sin (u_{2}) \frac{1}{\frac{1}{6}} d u_{2}$

Langkah 11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{1}{6}$ .

$\frac{1}{π} (\sin (u_{1}) + C) + 6 \int \sin (u_{2}) (1 \cdot 6) d u_{2}$

Langkah 11.2

Kalikan $6$ dengan $1$ .

$\frac{1}{π} (\sin (u_{1}) + C) + 6 \int \sin (u_{2}) \cdot 6 d u_{2}$

Langkah 11.3

Pindahkan $6$ ke sebelah kiri $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{π} (\sin (u_{1}) + C) + 6 \int 6 \sin (u_{2}) d u_{2}$

Langkah 12

Karena $6$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $6$ keluar dari integral.

$\frac{1}{π} (\sin (u_{1}) + C) + 6 (6 \int \sin (u_{2}) d u_{2})$

Langkah 13

Kalikan $6$ dengan $6$ .

$\frac{1}{π} (\sin (u_{1}) + C) + 36 \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Langkah 14

Integral dari $\sin (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $- \cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{π} (\sin (u_{1}) + C) + 36 (- \cos (u_{2}) + C)$

Langkah 15

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Sederhanakan.

$\frac{1}{π} \sin (u_{1}) + 36 (- \cos (u_{2})) + C$

Langkah 15.2

Kalikan $- 1$ dengan $36$ .

$\frac{1}{π} \sin (u_{1}) - 36 \cos (u_{2}) + C$

Langkah 16

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $π x$ .

$\frac{1}{π} \sin (π x) - 36 \cos (u_{2}) + C$

Langkah 16.2

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $\frac{x}{6}$ .

$\frac{1}{π} \sin (π x) - 36 \cos (\frac{x}{6}) + C$

Langkah 17

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{π} \sin (π x) - 36 \cos (\frac{1}{6} x) + C$

Langkah 18

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = \cos (π x) + 6 \sin (\frac{x}{6})$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{π} \sin (π x) - 36 \cos (\frac{1}{6} x) + C$