Kalkulus Contoh

$x {(4 x - 1)}^{2}$

Langkah 1

Tulis $x {(4 x - 1)}^{2}$ sebagai fungsi.

$f (x) = x {(4 x - 1)}^{2}$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int x {(4 x - 1)}^{2} d x$

Langkah 4

Biarkan $u = 4 x - 1$ . Kemudian $d u = 4 d x$ sehingga $\frac{1}{4} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Biarkan $u = 4 x - 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Diferensialkan $4 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Langkah 4.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 x - 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 4.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 4.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 4.1.3.3

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 4.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.4.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$4 + 0$

Langkah 4.1.4.2

Tambahkan $4$ dan $0$ .

$4$

Langkah 4.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int (\frac{u}{4} + \frac{1}{4}) u^{2} \frac{1}{4} d u$

Langkah 5

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $u^{2}$ .

$\int (\frac{u}{4} + \frac{1}{4}) \frac{u^{2}}{4} d u$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Terapkan sifat distributif.

$\int \frac{u}{4} \cdot \frac{u^{2}}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u^{2}}{4} d u$

Langkah 6.2

Kalikan $\frac{u}{4}$ dengan $\frac{u^{2}}{4}$ .

$\int \frac{u \cdot u^{2}}{4 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u^{2}}{4} d u$

Langkah 6.3

Naikkan $u$ menjadi pangkat $1$ .

$\int \frac{u^{1} u^{2}}{4 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u^{2}}{4} d u$

Langkah 6.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int \frac{u^{1 + 2}}{4 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u^{2}}{4} d u$

Langkah 6.5

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\int \frac{u^{3}}{4 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u^{2}}{4} d u$

Langkah 6.6

Kalikan $4$ dengan $4$ .

$\int \frac{u^{3}}{16} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u^{2}}{4} d u$

Langkah 6.7

Kalikan $\frac{1}{4}$ dengan $\frac{u^{2}}{4}$ .

$\int \frac{u^{3}}{16} + \frac{u^{2}}{4 \cdot 4} d u$

Langkah 6.8

Kalikan $4$ dengan $4$ .

$\int \frac{u^{3}}{16} + \frac{u^{2}}{16} d u$

Langkah 7

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int \frac{u^{3}}{16} d u + \int \frac{u^{2}}{16} d u$

Langkah 8

Karena $\frac{1}{16}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{16}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{16} \int u^{3} d u + \int \frac{u^{2}}{16} d u$

Langkah 9

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{3}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \int \frac{u^{2}}{16} d u$

Langkah 10

Karena $\frac{1}{16}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{16}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{16} (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \frac{1}{16} \int u^{2} d u$

Langkah 11

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{2}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \frac{1}{16} (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Langkah 12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Sederhanakan.

$\frac{1}{16} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + \frac{1}{16} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C$

Langkah 12.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Kalikan $\frac{1}{16}$ dengan $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{16 \cdot 4} u^{4} + \frac{1}{16} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C$

Langkah 12.2.2

Kalikan $16$ dengan $4$ .

$\frac{1}{64} u^{4} + \frac{1}{16} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C$

Langkah 12.2.3

Kalikan $\frac{1}{16}$ dengan $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{64} u^{4} + \frac{1}{16 \cdot 3} u^{3} + C$

Langkah 12.2.4

Kalikan $16$ dengan $3$ .

$\frac{1}{64} u^{4} + \frac{1}{48} u^{3} + C$

Langkah 13

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $4 x - 1$ .

$\frac{1}{64} {(4 x - 1)}^{4} + \frac{1}{48} {(4 x - 1)}^{3} + C$

Langkah 14

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = x {(4 x - 1)}^{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{64} {(4 x - 1)}^{4} + \frac{1}{48} {(4 x - 1)}^{3} + C$