Kalkulus Contoh

$y = 9 - x$ , $y = 3 x - 3$ , $x = 0$

Langkah 1

Untuk menghitung volume benda padat, pertama-tama tetapkan daerah dari setiap potongan kemudian integralkan di seluruh jangkauan. Daerah dari setiap potongan adalah daerah lingkaran dengan jari-jari $f (x)$ dan $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{3} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$ di mana $f (x) = - x + 9$ dan $g (x) = 3 x - 3$

Langkah 2

Sederhanakan integrannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Tulis kembali ${(- x + 9)}^{2}$ sebagai $(- x + 9) (- x + 9)$ .

$V = (- x + 9) (- x + 9) - {(3 x - 3)}^{2}$

Langkah 2.1.2

Perluas $(- x + 9) (- x + 9)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Terapkan sifat distributif.

$V = - x (- x + 9) + 9 (- x + 9) - {(3 x - 3)}^{2}$

Langkah 2.1.2.2

Terapkan sifat distributif.

$V = - x (- x) - x \cdot 9 + 9 (- x + 9) - {(3 x - 3)}^{2}$

Langkah 2.1.2.3

Terapkan sifat distributif.

$V = - x (- x) - x \cdot 9 + 9 (- x) + 9 \cdot 9 - {(3 x - 3)}^{2}$

Langkah 2.1.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$V = - 1 \cdot (- 1 x \cdot x) - x \cdot 9 + 9 (- x) + 9 \cdot 9 - {(3 x - 3)}^{2}$

Langkah 2.1.3.1.2

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1.2.1

Pindahkan $x$ .

$V = - 1 \cdot (- 1 (x \cdot x)) - x \cdot 9 + 9 (- x) + 9 \cdot 9 - {(3 x - 3)}^{2}$

Langkah 2.1.3.1.2.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$V = - 1 \cdot (- 1 x^{2}) - x \cdot 9 + 9 (- x) + 9 \cdot 9 - {(3 x - 3)}^{2}$

Langkah 2.1.3.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$V = 1 x^{2} - x \cdot 9 + 9 (- x) + 9 \cdot 9 - {(3 x - 3)}^{2}$

Langkah 2.1.3.1.4

Kalikan $x^{2}$ dengan $1$ .

$V = x^{2} - x \cdot 9 + 9 (- x) + 9 \cdot 9 - {(3 x - 3)}^{2}$

Langkah 2.1.3.1.5

Kalikan $9$ dengan $- 1$ .

$V = x^{2} - 9 x + 9 (- x) + 9 \cdot 9 - {(3 x - 3)}^{2}$

Langkah 2.1.3.1.6

Kalikan $- 1$ dengan $9$ .

$V = x^{2} - 9 x - 9 x + 9 \cdot 9 - {(3 x - 3)}^{2}$

Langkah 2.1.3.1.7

Kalikan $9$ dengan $9$ .

$V = x^{2} - 9 x - 9 x + 81 - {(3 x - 3)}^{2}$

Langkah 2.1.3.2

Kurangi $9 x$ dengan $- 9 x$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - {(3 x - 3)}^{2}$

Langkah 2.1.4

Tulis kembali ${(3 x - 3)}^{2}$ sebagai $(3 x - 3) (3 x - 3)$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - ((3 x - 3) (3 x - 3))$

Langkah 2.1.5

Perluas $(3 x - 3) (3 x - 3)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.5.1

Terapkan sifat distributif.

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (3 x (3 x - 3) - 3 (3 x - 3))$

Langkah 2.1.5.2

Terapkan sifat distributif.

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 3 - 3 (3 x - 3))$

Langkah 2.1.5.3

Terapkan sifat distributif.

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 3 - 3 (3 x) - 3 \cdot - 3)$

Langkah 2.1.6

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.6.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.6.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (3 \cdot (3 x \cdot x) + 3 x \cdot - 3 - 3 (3 x) - 3 \cdot - 3)$

Langkah 2.1.6.1.2

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.6.1.2.1

Pindahkan $x$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (3 \cdot (3 (x \cdot x)) + 3 x \cdot - 3 - 3 (3 x) - 3 \cdot - 3)$

Langkah 2.1.6.1.2.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (3 \cdot (3 x^{2}) + 3 x \cdot - 3 - 3 (3 x) - 3 \cdot - 3)$

Langkah 2.1.6.1.3

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (9 x^{2} + 3 x \cdot - 3 - 3 (3 x) - 3 \cdot - 3)$

Langkah 2.1.6.1.4

Kalikan $- 3$ dengan $3$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (9 x^{2} - 9 x - 3 (3 x) - 3 \cdot - 3)$

Langkah 2.1.6.1.5

Kalikan $3$ dengan $- 3$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (9 x^{2} - 9 x - 9 x - 3 \cdot - 3)$

Langkah 2.1.6.1.6

Kalikan $- 3$ dengan $- 3$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (9 x^{2} - 9 x - 9 x + 9)$

Langkah 2.1.6.2

Kurangi $9 x$ dengan $- 9 x$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (9 x^{2} - 18 x + 9)$

Langkah 2.1.7

Terapkan sifat distributif.

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (9 x^{2}) - (- 18 x) - 1 \cdot 9$

Langkah 2.1.8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.8.1

Kalikan $9$ dengan $- 1$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - 9 x^{2} - (- 18 x) - 1 \cdot 9$

Langkah 2.1.8.2

Kalikan $- 18$ dengan $- 1$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - 9 x^{2} + 18 x - 1 \cdot 9$

Langkah 2.1.8.3

Kalikan $- 1$ dengan $9$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - 9 x^{2} + 18 x - 9$

Langkah 2.2

Sederhanakan dengan menambahkan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Gabungkan suku balikan dalam $x^{2} - 18 x + 81 - 9 x^{2} + 18 x - 9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Tambahkan $- 18 x$ dan $18 x$ .

$V = x^{2} + 81 - 9 x^{2} + 0 - 9$

Langkah 2.2.1.2

Tambahkan $x^{2} + 81 - 9 x^{2}$ dan $0$ .

$V = x^{2} + 81 - 9 x^{2} - 9$

Langkah 2.2.2

Kurangi $9 x^{2}$ dengan $x^{2}$ .

$V = - 8 x^{2} + 81 - 9$

Langkah 2.2.3

Kurangi $9$ dengan $81$ .

$V = - 8 x^{2} + 72$

Langkah 3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$V = π (\int_{0}^{3} - 8 x^{2} d x + \int_{0}^{3} 72 d x)$

Langkah 4

Karena $- 8$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 8$ keluar dari integral.

$V = π (- 8 \int_{0}^{3} x^{2} d x + \int_{0}^{3} 72 d x)$

Langkah 5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (- 8 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} 72 d x)$

Langkah 6

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$V = π (- 8 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} 72 d x)$

Langkah 7

Terapkan aturan konstanta.

$V = π (- 8 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + 72 x]_{0}^{3})$

Langkah 8

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Evaluasi $\frac{x^{3}}{3}$ pada $3$ dan pada $0$ .

$V = π (- 8 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 72 x]_{0}^{3})$

Langkah 8.2

Evaluasi $72 x$ pada $3$ dan pada $0$ .

$V = π (- 8 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Langkah 8.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$V = π (- 8 (\frac{27}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Langkah 8.3.2

Hapus faktor persekutuan dari $27$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1

Faktorkan $3$ dari $27$ .

$V = π (- 8 (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Langkah 8.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$V = π (- 8 (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{0^{3}}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Langkah 8.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$V = π (- 8 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{0^{3}}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Langkah 8.3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$V = π (- 8 (\frac{9}{1} - \frac{0^{3}}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Langkah 8.3.2.2.4

Bagilah $9$ dengan $1$ .

$V = π (- 8 (9 - \frac{0^{3}}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Langkah 8.3.3

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$V = π (- 8 (9 - \frac{0}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Langkah 8.3.4

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.4.1

Faktorkan $3$ dari $0$ .

$V = π (- 8 (9 - \frac{3 (0)}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Langkah 8.3.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.4.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$V = π (- 8 (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Langkah 8.3.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$V = π (- 8 (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Langkah 8.3.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$V = π (- 8 (9 - \frac{0}{1}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Langkah 8.3.4.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$V = π (- 8 (9 - 0) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Langkah 8.3.5

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$V = π (- 8 (9 + 0) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Langkah 8.3.6

Tambahkan $9$ dan $0$ .

$V = π (- 8 \cdot 9 + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Langkah 8.3.7

Kalikan $- 8$ dengan $9$ .

$V = π (- 72 + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Langkah 8.3.8

Kalikan $72$ dengan $3$ .

$V = π (- 72 + 216 - 72 \cdot 0)$

Langkah 8.3.9

Kalikan $- 72$ dengan $0$ .

$V = π (- 72 + 216 + 0)$

Langkah 8.3.10

Tambahkan $216$ dan $0$ .

$V = π (- 72 + 216)$

Langkah 8.3.11

Tambahkan $- 72$ dan $216$ .

$V = π \cdot 144$

Langkah 8.3.12

Pindahkan $144$ ke sebelah kiri $π$ .

$V = 144 π$

Langkah 9

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$V = 144 π$

Bentuk Desimal:

$V = 452.38934211 \dots$

Langkah 10