Kalkulus Contoh

$y = 6 - \frac{5}{2} x$ , $y = 0$ , $x = 0$ , $x = 1$

Langkah 1

Untuk menghitung volume benda padat, pertama-tama tetapkan daerah dari setiap potongan kemudian integralkan di seluruh jangkauan. Daerah dari setiap potongan adalah daerah lingkaran dengan jari-jari $f (x)$ dan $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{1} {(f (x))}^{2} d x$ di mana $f (x) = - \frac{5 x}{2} + 6$

Langkah 2

Sederhanakan integrannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis kembali ${(- \frac{5 x}{2} + 6)}^{2}$ sebagai $(- \frac{5 x}{2} + 6) (- \frac{5 x}{2} + 6)$ .

$V = (- \frac{5 x}{2} + 6) (- \frac{5 x}{2} + 6)$

Langkah 2.2

Perluas $(- \frac{5 x}{2} + 6) (- \frac{5 x}{2} + 6)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Terapkan sifat distributif.

$V = - \frac{5 x}{2} \cdot (- \frac{5 x}{2} + 6) + 6 (- \frac{5 x}{2} + 6)$

Langkah 2.2.2

Terapkan sifat distributif.

$V = - \frac{5 x}{2} \cdot (- \frac{5 x}{2}) - \frac{5 x}{2} \cdot 6 + 6 (- \frac{5 x}{2} + 6)$

Langkah 2.2.3

Terapkan sifat distributif.

$V = - \frac{5 x}{2} \cdot (- \frac{5 x}{2}) - \frac{5 x}{2} \cdot 6 + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

Langkah 2.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Kalikan $- \frac{5 x}{2} (- \frac{5 x}{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$V = 1 (\frac{5 x}{2}) \cdot \frac{5 x}{2} - \frac{5 x}{2} \cdot 6 + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

Langkah 2.3.1.1.2

Kalikan $\frac{5 x}{2}$ dengan $1$ .

$V = \frac{5 x}{2} \cdot \frac{5 x}{2} - \frac{5 x}{2} \cdot 6 + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

Langkah 2.3.1.1.3

Kalikan $\frac{5 x}{2}$ dengan $\frac{5 x}{2}$ .

$V = \frac{5 x (5 x)}{2 \cdot 2} - \frac{5 x}{2} \cdot 6 + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

Langkah 2.3.1.1.4

Kalikan $5$ dengan $5$ .

$V = \frac{25 x \cdot x}{2 \cdot 2} - \frac{5 x}{2} \cdot 6 + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

Langkah 2.3.1.1.5

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$V = \frac{25 (x \cdot x)}{2 \cdot 2} - \frac{5 x}{2} \cdot 6 + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

Langkah 2.3.1.1.6

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$V = \frac{25 (x \cdot x)}{2 \cdot 2} - \frac{5 x}{2} \cdot 6 + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

Langkah 2.3.1.1.7

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$V = \frac{25 x^{1 + 1}}{2 \cdot 2} - \frac{5 x}{2} \cdot 6 + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

Langkah 2.3.1.1.8

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$V = \frac{25 x^{2}}{2 \cdot 2} - \frac{5 x}{2} \cdot 6 + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

Langkah 2.3.1.1.9

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$V = \frac{25 x^{2}}{4} - \frac{5 x}{2} \cdot 6 + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

Langkah 2.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{5 x}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$V = \frac{25 x^{2}}{4} + \frac{- 5 x}{2} \cdot 6 + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

Langkah 2.3.1.2.2

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$V = \frac{25 x^{2}}{4} + \frac{- 5 x}{2} \cdot (2 (3)) + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

Langkah 2.3.1.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$V = \frac{25 x^{2}}{4} + \frac{- 5 x}{2} \cdot (2 \cdot 3) + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

Langkah 2.3.1.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$V = \frac{25 x^{2}}{4} - 5 x \cdot 3 + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

Langkah 2.3.1.3

Kalikan $3$ dengan $- 5$ .

$V = \frac{25 x^{2}}{4} - 15 x + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

Langkah 2.3.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.4.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{5 x}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$V = \frac{25 x^{2}}{4} - 15 x + 6 (\frac{- 5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

Langkah 2.3.1.4.2

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$V = \frac{25 x^{2}}{4} - 15 x + 2 (3) (\frac{- 5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

Langkah 2.3.1.4.3

Batalkan faktor persekutuan.

$V = \frac{25 x^{2}}{4} - 15 x + 2 \cdot (3 (\frac{- 5 x}{2})) + 6 \cdot 6$

Langkah 2.3.1.4.4

Tulis kembali pernyataannya.

$V = \frac{25 x^{2}}{4} - 15 x + 3 (- 5 x) + 6 \cdot 6$

Langkah 2.3.1.5

Kalikan $- 5$ dengan $3$ .

$V = \frac{25 x^{2}}{4} - 15 x - 15 x + 6 \cdot 6$

Langkah 2.3.1.6

Kalikan $6$ dengan $6$ .

$V = \frac{25 x^{2}}{4} - 15 x - 15 x + 36$

Langkah 2.3.2

Kurangi $15 x$ dengan $- 15 x$ .

$V = \frac{25 x^{2}}{4} - 30 x + 36$

Langkah 3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$V = π (\int_{0}^{1} \frac{25 x^{2}}{4} d x + \int_{0}^{1} - 30 x d x + \int_{0}^{1} 36 d x)$

Langkah 4

Karena $\frac{25}{4}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{25}{4}$ keluar dari integral.

$V = π (\frac{25}{4} \cdot \int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} - 30 x d x + \int_{0}^{1} 36 d x)$

Langkah 5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (\frac{25}{4} \cdot \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 30 x d x + \int_{0}^{1} 36 d x)$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$V = π (\frac{25}{4} \cdot \frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 30 x d x + \int_{0}^{1} 36 d x)$

Langkah 6.2

Gabungkan $\frac{25}{4}$ dan $\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}$ .

$V = π (\frac{25 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})}{4} + \int_{0}^{1} - 30 x d x + \int_{0}^{1} 36 d x)$

Langkah 7

Karena $- 30$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 30$ keluar dari integral.

$V = π (\frac{25 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})}{4} - 30 \int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} 36 d x)$

Langkah 8

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$V = π (\frac{25 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})}{4} - 30 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 36 d x)$

Langkah 9

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$V = π (\frac{25 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})}{4} - 30 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 36 d x)$

Langkah 10

Terapkan aturan konstanta.

$V = π (\frac{25 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})}{4} - 30 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 36 x]_{0}^{1})$

Langkah 11

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Evaluasi $\frac{x^{3}}{3}$ pada $1$ dan pada $0$ .

$V = π (\frac{25 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})}{4} - 30 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 36 x]_{0}^{1})$

Langkah 11.2

Evaluasi $\frac{x^{2}}{2}$ pada $1$ dan pada $0$ .

$V = π (\frac{25 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 x]_{0}^{1})$

Langkah 11.3

Evaluasi $36 x$ pada $1$ dan pada $0$ .

$V = π (\frac{25 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Langkah 11.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$V = π (\frac{25 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3})}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Langkah 11.4.2

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$V = π (\frac{25 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3})}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Langkah 11.4.3

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.3.1

Faktorkan $3$ dari $0$ .

$V = π (\frac{25 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3})}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Langkah 11.4.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.3.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$V = π (\frac{25 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Langkah 11.4.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$V = π (\frac{25 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Langkah 11.4.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$V = π (\frac{25 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1})}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Langkah 11.4.3.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$V = π (\frac{25 (\frac{1}{3} - 0)}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Langkah 11.4.4

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$V = π (\frac{25 (\frac{1}{3} + 0)}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Langkah 11.4.5

Tambahkan $\frac{1}{3}$ dan $0$ .

$V = π (\frac{25 (\frac{1}{3})}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Langkah 11.4.6

Gabungkan $25$ dan $\frac{1}{3}$ .

$V = π (\frac{\frac{25}{3}}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Langkah 11.4.7

Tulis kembali $\frac{\frac{25}{3}}{4}$ sebagai hasil kali.

$V = π (\frac{25}{3} \cdot \frac{1}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Langkah 11.4.8

Kalikan $\frac{25}{3}$ dengan $\frac{1}{4}$ .

$V = π (\frac{25}{3 \cdot 4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Langkah 11.4.9

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$V = π (\frac{25}{12} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Langkah 11.4.10

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$V = π (\frac{25}{12} - 30 (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Langkah 11.4.11

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$V = π (\frac{25}{12} - 30 (\frac{1}{2} - \frac{0}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Langkah 11.4.12

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.12.1

Faktorkan $2$ dari $0$ .

$V = π (\frac{25}{12} - 30 (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Langkah 11.4.12.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.12.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$V = π (\frac{25}{12} - 30 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Langkah 11.4.12.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$V = π (\frac{25}{12} - 30 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Langkah 11.4.12.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$V = π (\frac{25}{12} - 30 (\frac{1}{2} - \frac{0}{1}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Langkah 11.4.12.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$V = π (\frac{25}{12} - 30 (\frac{1}{2} - 0) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Langkah 11.4.13

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$V = π (\frac{25}{12} - 30 (\frac{1}{2} + 0) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Langkah 11.4.14

Tambahkan $\frac{1}{2}$ dan $0$ .

$V = π (\frac{25}{12} - 30 (\frac{1}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Langkah 11.4.15

Gabungkan $- 30$ dan $\frac{1}{2}$ .

$V = π (\frac{25}{12} + \frac{- 30}{2} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Langkah 11.4.16

Hapus faktor persekutuan dari $- 30$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.16.1

Faktorkan $2$ dari $- 30$ .

$V = π (\frac{25}{12} + \frac{2 \cdot - 15}{2} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Langkah 11.4.16.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.16.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$V = π (\frac{25}{12} + \frac{2 \cdot - 15}{2 (1)} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Langkah 11.4.16.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$V = π (\frac{25}{12} + \frac{2 \cdot - 15}{2 \cdot 1} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Langkah 11.4.16.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$V = π (\frac{25}{12} + \frac{- 15}{1} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Langkah 11.4.16.2.4

Bagilah $- 15$ dengan $1$ .

$V = π (\frac{25}{12} - 15 + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Langkah 11.4.17

Untuk menuliskan $- 15$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{12}{12}$ .

$V = π (\frac{25}{12} - 15 \cdot \frac{12}{12} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Langkah 11.4.18

Gabungkan $- 15$ dan $\frac{12}{12}$ .

$V = π (\frac{25}{12} + \frac{- 15 \cdot 12}{12} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Langkah 11.4.19

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$V = π (\frac{25 - 15 \cdot 12}{12} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Langkah 11.4.20

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.20.1

Kalikan $- 15$ dengan $12$ .

$V = π (\frac{25 - 180}{12} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Langkah 11.4.20.2

Kurangi $180$ dengan $25$ .

$V = π (\frac{- 155}{12} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Langkah 11.4.21

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$V = π (- \frac{155}{12} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Langkah 11.4.22

Kalikan $36$ dengan $1$ .

$V = π (- \frac{155}{12} + 36 - 36 \cdot 0)$

Langkah 11.4.23

Kalikan $- 36$ dengan $0$ .

$V = π (- \frac{155}{12} + 36 + 0)$

Langkah 11.4.24

Tambahkan $36$ dan $0$ .

$V = π (- \frac{155}{12} + 36)$

Langkah 11.4.25

Untuk menuliskan $36$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{12}{12}$ .

$V = π (- \frac{155}{12} + 36 \cdot \frac{12}{12})$

Langkah 11.4.26

Gabungkan $36$ dan $\frac{12}{12}$ .

$V = π (- \frac{155}{12} + \frac{36 \cdot 12}{12})$

Langkah 11.4.27

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$V = π (\frac{- 155 + 36 \cdot 12}{12})$

Langkah 11.4.28

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.28.1

Kalikan $36$ dengan $12$ .

$V = π (\frac{- 155 + 432}{12})$

Langkah 11.4.28.2

Tambahkan $- 155$ dan $432$ .

$V = π (\frac{277}{12})$

Langkah 11.4.29

Gabungkan $π$ dan $\frac{277}{12}$ .

$V = \frac{π \cdot 277}{12}$

Langkah 11.4.30

Pindahkan $277$ ke sebelah kiri $π$ .

$V = \frac{277 π}{12}$

Langkah 12

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$V = \frac{277 π}{12}$

Bentuk Desimal:

$V = 72.51843042 \dots$

Langkah 13