Kalkulus Contoh

$lim_{t \to 0} \frac{8^{t} - 5^{t}}{t}$

Langkah 1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{t \to 0} 8^{t} - 5^{t}}{lim_{t \to 0} t}$

Langkah 1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $t$ mendekati $0$ .

$\frac{lim_{t \to 0} 8^{t} - lim_{t \to 0} 5^{t}}{lim_{t \to 0} t}$

Langkah 1.2.2

Pindahkan limit ke dalam eksponen.

$\frac{8^{lim_{t \to 0} t} - lim_{t \to 0} 5^{t}}{lim_{t \to 0} t}$

Langkah 1.2.3

Pindahkan limit ke dalam eksponen.

$\frac{8^{lim_{t \to 0} t} - 5^{lim_{t \to 0} t}}{lim_{t \to 0} t}$

Langkah 1.2.4

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{8^{0} - 5^{lim_{t \to 0} t}}{lim_{t \to 0} t}$

Langkah 1.2.4.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{8^{0} - 5^{0}}{lim_{t \to 0} t}$

Langkah 1.2.5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1.1

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$\frac{1 - 5^{0}}{lim_{t \to 0} t}$

Langkah 1.2.5.1.2

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{t \to 0} t}$

Langkah 1.2.5.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{t \to 0} t}$

Langkah 1.2.5.2

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} t}$

Langkah 1.3

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{t \to 0} \frac{8^{t} - 5^{t}}{t} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [8^{t} - 5^{t}]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Langkah 3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [8^{t} - 5^{t}]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Langkah 3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $8^{t} - 5^{t}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d t} [8^{t}] + \frac{d}{d t} [- 5^{t}]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [8^{t}] + \frac{d}{d t} [- 5^{t}]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ adalah $a^{t} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $8$ .

$lim_{t \to 0} \frac{8^{t} \ln (8) + \frac{d}{d t} [- 5^{t}]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Langkah 3.4

Evaluasi $\frac{d}{d t} [- 5^{t}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $- 5^{t}$ terhadap $t$ adalah $- \frac{d}{d t} [5^{t}]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{8^{t} \ln (8) - \frac{d}{d t} [5^{t}]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Langkah 3.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ adalah $a^{t} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $5$ .

$lim_{t \to 0} \frac{8^{t} \ln (8) - (5^{t} \ln (5))}{\frac{d}{d t} [t]}$

Langkah 3.4.3

Hilangkan tanda kurung.

$lim_{t \to 0} \frac{8^{t} \ln (8) - 5^{t} \ln (5)}{\frac{d}{d t} [t]}$

Langkah 3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{8^{t} \ln (8) - 5^{t} \ln (5)}{1}$

Langkah 4

Bagilah $8^{t} \ln (8) - 5^{t} \ln (5)$ dengan $1$ .

$lim_{t \to 0} 8^{t} \ln (8) - 5^{t} \ln (5)$

Langkah 5

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $t$ mendekati $0$ .

$lim_{t \to 0} 8^{t} \ln (8) - lim_{t \to 0} 5^{t} \ln (5)$

Langkah 6

Pindahkan suku $\ln (8)$ ke luar limit karena konstan terhadap $t$ .

$\ln (8) lim_{t \to 0} 8^{t} - lim_{t \to 0} 5^{t} \ln (5)$

Langkah 7

Pindahkan limit ke dalam eksponen.

$\ln (8) \cdot 8^{lim_{t \to 0} t} - lim_{t \to 0} 5^{t} \ln (5)$

Langkah 8

Pindahkan suku $\ln (5)$ ke luar limit karena konstan terhadap $t$ .

$\ln (8) \cdot 8^{lim_{t \to 0} t} - \ln (5) lim_{t \to 0} 5^{t}$

Langkah 9

Pindahkan limit ke dalam eksponen.

$\ln (8) \cdot 8^{lim_{t \to 0} t} - \ln (5) \cdot 5^{lim_{t \to 0} t}$

Langkah 10

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\ln (8) \cdot 8^{0} - \ln (5) \cdot 5^{lim_{t \to 0} t}$

Langkah 10.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\ln (8) \cdot 8^{0} - \ln (5) \cdot 5^{0}$

Langkah 11

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.1

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$\ln (8) \cdot 1 - \ln (5) \cdot 5^{0}$

Langkah 11.1.2

Kalikan $\ln (8)$ dengan $1$ .

$\ln (8) - \ln (5) \cdot 5^{0}$

Langkah 11.1.3

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$\ln (8) - \ln (5) \cdot 1$

Langkah 11.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\ln (8) - \ln (5)$

Langkah 11.2

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{8}{5})$