Kalkulus Contoh

$lim_{x \to \infty} \frac{x + x^{2}}{1 - 2 x^{2}}$

Langkah 1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to \infty} x + x^{2}}{lim_{x \to \infty} 1 - 2 x^{2}}$

Langkah 1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Susun kembali $x$ dan $x^{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} + x}{lim_{x \to \infty} 1 - 2 x^{2}}$

Langkah 1.2.2

Limit pada tak hingga dari polinomial yang koefisien pertamanya positif adalah tak hingga.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 1 - 2 x^{2}}$

Langkah 1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Susun kembali $1$ dan $- 2 x^{2}$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} - 2 x^{2} + 1}$

Langkah 1.3.2

Limit tak hingga dari Polinomial yang koefisien pertamanya negatif adalah tak hingga negatif.

$\frac{\infty}{- \infty}$

Langkah 1.3.3

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{\infty}{- \infty}$

Langkah 1.4

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{\infty}{- \infty}$

Langkah 2

Karena $\frac{\infty}{- \infty}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to \infty} \frac{x + x^{2}}{1 - 2 x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - 2 x^{2}]}$

Langkah 3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - 2 x^{2}]}$

Langkah 3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + x^{2}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - 2 x^{2}]}$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - 2 x^{2}]}$

Langkah 3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + 2 x}{\frac{d}{d x} [1 - 2 x^{2}]}$

Langkah 3.5

Susun kembali suku-suku.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{\frac{d}{d x} [1 - 2 x^{2}]}$

Langkah 3.6

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 - 2 x^{2}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]}$

Langkah 3.7

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{0 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]}$

Langkah 3.8

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{0 - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Langkah 3.8.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{0 - 2 (2 x)}$

Langkah 3.8.3

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{0 - 4 x}$

Langkah 3.9

Kurangi $4 x$ dengan $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{- 4 x}$

Langkah 4

Pindahkan suku $\frac{1}{- 4}$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{1}{- 4} lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{x}$

Langkah 5

Bagilah pembilang dan penyebutnya dengan pangkat tertinggi dari $x$ dalam penyebut, yaitu $x$ .

$\frac{1}{- 4} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}$

Langkah 6

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{- 4} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}$

Langkah 6.1.2

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{- 4} lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}$

Langkah 6.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{- 4} lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}$

Langkah 6.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{- 4} lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{x}}{1}$

Langkah 6.3

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\infty$ .

$\frac{1}{- 4} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Langkah 6.4

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\infty$ .

$\frac{1}{- 4} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Langkah 6.5

Evaluasi limit dari $2$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$\frac{1}{- 4} \cdot \frac{2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Langkah 7

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{x}$ mendekati $0$ .

$\frac{1}{- 4} \cdot \frac{2 + 0}{lim_{x \to \infty} 1}$

Langkah 8

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$\frac{1}{- 4} \cdot \frac{2 + 0}{1}$

Langkah 8.2

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{2 + 0}{1}$

Langkah 8.2.2

Bagilah $2 + 0$ dengan $1$ .

$- \frac{1}{4} (2 + 0)$

Langkah 8.2.3

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$- \frac{1}{4} \cdot 2$

Langkah 8.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.4.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{4}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{- 1}{4} \cdot 2$

Langkah 8.2.4.2

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\frac{- 1}{2 (2)} \cdot 2$

Langkah 8.2.4.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 1}{2 \cdot 2} \cdot 2$

Langkah 8.2.4.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 1}{2}$

Langkah 8.2.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1}{2}$