Kalkulus Contoh

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{5} + 4 x^{3} - 8}{7 x^{5} - 3 x^{2} - 1}$

Langkah 1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{5} + 4 x^{3} - 8}{lim_{x \to \infty} 7 x^{5} - 3 x^{2} - 1}$

Langkah 1.2

Limit pada tak hingga dari polinomial yang koefisien pertamanya positif adalah tak hingga.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 7 x^{5} - 3 x^{2} - 1}$

Langkah 1.3

Limit pada tak hingga dari polinomial yang koefisien pertamanya positif adalah tak hingga.

$\frac{\infty}{\infty}$

Langkah 1.4

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{\infty}{\infty}$

Langkah 2

Karena $\frac{\infty}{\infty}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{5} + 4 x^{3} - 8}{7 x^{5} - 3 x^{2} - 1} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{5} + 4 x^{3} - 8]}{\frac{d}{d x} [7 x^{5} - 3 x^{2} - 1]}$

Langkah 3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{5} + 4 x^{3} - 8]}{\frac{d}{d x} [7 x^{5} - 3 x^{2} - 1]}$

Langkah 3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{5} + 4 x^{3} - 8$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [7 x^{5} - 3 x^{2} - 1]}$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [7 x^{5} - 3 x^{2} - 1]}$

Langkah 3.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [7 x^{5} - 3 x^{2} - 1]}$

Langkah 3.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [7 x^{5} - 3 x^{2} - 1]}$

Langkah 3.4.3

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [7 x^{5} - 3 x^{2} - 1]}$

Langkah 3.5

Karena $- 8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 8$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4} + 12 x^{2} + 0}{\frac{d}{d x} [7 x^{5} - 3 x^{2} - 1]}$

Langkah 3.6

Tambahkan $5 x^{4} + 12 x^{2}$ dan $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4} + 12 x^{2}}{\frac{d}{d x} [7 x^{5} - 3 x^{2} - 1]}$

Langkah 3.7

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $7 x^{5} - 3 x^{2} - 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [7 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4} + 12 x^{2}}{\frac{d}{d x} [7 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Langkah 3.8

Evaluasi $\frac{d}{d x} [7 x^{5}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.1

Karena $7$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $7 x^{5}$ terhadap $x$ adalah $7 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4} + 12 x^{2}}{7 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Langkah 3.8.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4} + 12 x^{2}}{7 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Langkah 3.8.3

Kalikan $5$ dengan $7$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4} + 12 x^{2}}{35 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Langkah 3.9

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.1

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4} + 12 x^{2}}{35 x^{4} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Langkah 3.9.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4} + 12 x^{2}}{35 x^{4} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Langkah 3.9.3

Kalikan $2$ dengan $- 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4} + 12 x^{2}}{35 x^{4} - 6 x + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Langkah 3.10

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4} + 12 x^{2}}{35 x^{4} - 6 x + 0}$

Langkah 3.11

Tambahkan $35 x^{4} - 6 x$ dan $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4} + 12 x^{2}}{35 x^{4} - 6 x}$

Langkah 4

Bagilah pembilang dan penyebutnya dengan pangkat tertinggi dari $x$ dalam penyebut, yaitu $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{4}}{x^{4}} + \frac{12 x^{2}}{x^{4}}}{\frac{35 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 6 x}{x^{4}}}$

Langkah 5

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{4}}{x^{4}} + \frac{12 x^{2}}{x^{4}}}{\frac{35 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 6 x}{x^{4}}}$

Langkah 5.1.1.2

Bagilah $5$ dengan $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{12 x^{2}}{x^{4}}}{\frac{35 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 6 x}{x^{4}}}$

Langkah 5.1.2

Hapus faktor persekutuan dari $x^{2}$ dan $x^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $12 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{x^{2} \cdot 12}{x^{4}}}{\frac{35 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 6 x}{x^{4}}}$

Langkah 5.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.2.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{x^{2} \cdot 12}{x^{2} x^{2}}}{\frac{35 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 6 x}{x^{4}}}$

Langkah 5.1.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{x^{2} \cdot 12}{x^{2} x^{2}}}{\frac{35 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 6 x}{x^{4}}}$

Langkah 5.1.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{12}{x^{2}}}{\frac{35 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 6 x}{x^{4}}}$

Langkah 5.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{12}{x^{2}}}{\frac{35 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 6 x}{x^{4}}}$

Langkah 5.2.1.2

Bagilah $35$ dengan $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{12}{x^{2}}}{35 + \frac{- 6 x}{x^{4}}}$

Langkah 5.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $x$ dan $x^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Faktorkan $x$ dari $- 6 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{12}{x^{2}}}{35 + \frac{x \cdot - 6}{x^{4}}}$

Langkah 5.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{12}{x^{2}}}{35 + \frac{x \cdot - 6}{x \cdot x^{3}}}$

Langkah 5.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{12}{x^{2}}}{35 + \frac{x \cdot - 6}{x \cdot x^{3}}}$

Langkah 5.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{12}{x^{2}}}{35 + \frac{- 6}{x^{3}}}$

Langkah 5.2.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{12}{x^{2}}}{35 - \frac{6}{x^{3}}}$

Langkah 5.3

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 5 + \frac{12}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 35 - \frac{6}{x^{3}}}$

Langkah 5.4

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 5 + lim_{x \to \infty} \frac{12}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 35 - \frac{6}{x^{3}}}$

Langkah 5.5

Evaluasi limit dari $5$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$\frac{5 + lim_{x \to \infty} \frac{12}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 35 - \frac{6}{x^{3}}}$

Langkah 5.6

Pindahkan suku $12$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{5 + 12 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 35 - \frac{6}{x^{3}}}$

Langkah 6

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{x^{2}}$ mendekati $0$ .

$\frac{5 + 12 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 35 - \frac{6}{x^{3}}}$

Langkah 7

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\infty$ .

$\frac{5 + 12 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 35 - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{3}}}$

Langkah 7.2

Evaluasi limit dari $35$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$\frac{5 + 12 \cdot 0}{35 - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{3}}}$

Langkah 7.3

Pindahkan suku $6$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{5 + 12 \cdot 0}{35 - 6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

Langkah 8

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{x^{3}}$ mendekati $0$ .

$\frac{5 + 12 \cdot 0}{35 - 6 \cdot 0}$

Langkah 9

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Kalikan $12$ dengan $0$ .

$\frac{5 + 0}{35 - 6 \cdot 0}$

Langkah 9.1.2

Tambahkan $5$ dan $0$ .

$\frac{5}{35 - 6 \cdot 0}$

Langkah 9.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Kalikan $- 6$ dengan $0$ .

$\frac{5}{35 + 0}$

Langkah 9.2.2

Tambahkan $35$ dan $0$ .

$\frac{5}{35}$

Langkah 9.3

Hapus faktor persekutuan dari $5$ dan $35$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Faktorkan $5$ dari $5$ .

$\frac{5 (1)}{35}$

Langkah 9.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.2.1

Faktorkan $5$ dari $35$ .

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 7}$

Langkah 9.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 7}$

Langkah 9.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{7}$