Kalkulus Contoh

$lim_{x \to - \infty} x^{4} e^{x}$

Langkah 1

Tulis kembali $x^{4} e^{x}$ sebagai $\frac{x^{4}}{e^{- x}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{4}}{e^{- x}}$

Langkah 2

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to - \infty} x^{4}}{lim_{x \to - \infty} e^{- x}}$

Langkah 2.1.2

Limit ketika tak hingga negatif dari polinomial derajat genap yang koefisien pertamanya positif adalah tak hingga.

$\frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} e^{- x}}$

Langkah 2.1.3

Karena eksponen $- x$ mendekati $\infty$ , jumlah $e^{- x}$ mendekati $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Langkah 2.1.4

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{\infty}{\infty}$

Langkah 2.2

Karena $\frac{\infty}{\infty}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{4}}{e^{- x}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}]}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

Langkah 2.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}]}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 x^{3}}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

Langkah 2.3.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $- x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 x^{3}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]}$

Langkah 2.3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 x^{3}}{e^{u} \frac{d}{d x} [- x]}$

Langkah 2.3.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 x^{3}}{e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]}$

Langkah 2.3.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 x^{3}}{e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])}$

Langkah 2.3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 x^{3}}{e^{- x} (- 1 \cdot 1)}$

Langkah 2.3.6

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 x^{3}}{e^{- x} \cdot - 1}$

Langkah 2.3.7

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $e^{- x}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 x^{3}}{- 1 \cdot e^{- x}}$

Langkah 2.3.8

Tulis kembali $- 1 e^{- x}$ sebagai $- e^{- x}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 x^{3}}{- e^{- x}}$

Langkah 2.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$lim_{x \to - \infty} - \frac{4 x^{3}}{e^{- x}}$

Langkah 3

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Pindahkan suku $- 1$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$- lim_{x \to - \infty} \frac{4 x^{3}}{e^{- x}}$

Langkah 3.2

Pindahkan suku $4$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$- 4 lim_{x \to - \infty} \frac{x^{3}}{e^{- x}}$

Langkah 4

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$- 4 \frac{lim_{x \to - \infty} x^{3}}{lim_{x \to - \infty} e^{- x}}$

Langkah 4.1.2

Limit pada tak hingga negatif dari polinomial pada derajat ganjil yang koefisien pertamanya positif adalah tak hingga negatif.

$- 4 \frac{- \infty}{lim_{x \to - \infty} e^{- x}}$

Langkah 4.1.3

Karena eksponen $- x$ mendekati $\infty$ , jumlah $e^{- x}$ mendekati $\infty$ .

$- 4 \frac{- \infty}{\infty}$

Langkah 4.1.4

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$- 4 \frac{- \infty}{\infty}$

Langkah 4.2

Karena $\frac{- \infty}{\infty}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{3}}{e^{- x}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

Langkah 4.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$- 4 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

Langkah 4.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$- 4 lim_{x \to - \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

Langkah 4.3.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $- x$ .

$- 4 lim_{x \to - \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]}$

Langkah 4.3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$- 4 lim_{x \to - \infty} \frac{3 x^{2}}{e^{u} \frac{d}{d x} [- x]}$

Langkah 4.3.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- x$ .

$- 4 lim_{x \to - \infty} \frac{3 x^{2}}{e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]}$

Langkah 4.3.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 lim_{x \to - \infty} \frac{3 x^{2}}{e^{- x} \cdot - 1 \frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 4.3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 4 lim_{x \to - \infty} \frac{3 x^{2}}{e^{- x} \cdot - 1 \cdot 1}$

Langkah 4.3.6

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 4 lim_{x \to - \infty} \frac{3 x^{2}}{e^{- x} \cdot - 1}$

Langkah 4.3.7

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $e^{- x}$ .

$- 4 lim_{x \to - \infty} \frac{3 x^{2}}{- 1 \cdot e^{- x}}$

Langkah 4.3.8

Tulis kembali $- 1 e^{- x}$ sebagai $- e^{- x}$ .

$- 4 lim_{x \to - \infty} \frac{3 x^{2}}{- e^{- x}}$

Langkah 5

Pindahkan suku $3$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$- 4 \cdot 3 lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2}}{- e^{- x}}$

Langkah 6

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$- 4 \cdot 3 \frac{lim_{x \to - \infty} x^{2}}{lim_{x \to - \infty} - e^{- x}}$

Langkah 6.1.2

Limit ketika tak hingga negatif dari polinomial derajat genap yang koefisien pertamanya positif adalah tak hingga.

$- 4 \cdot 3 \frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} - e^{- x}}$

Langkah 6.1.3

Karena fungsi $e^{- x}$ mendekati $\infty$ , konstanta negatif $- 1$ kali fungsi mendekati $- \infty$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.3.1

Pertimbangkan batasnya dengan kelipatan tetap $- 1$ dihapus.

$- 4 \cdot 3 \frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} e^{- x}}$

Langkah 6.1.3.2

Karena eksponen $- x$ mendekati $\infty$ , jumlah $e^{- x}$ mendekati $\infty$ .

$- 4 \cdot 3 \frac{\infty}{\infty}$

Langkah 6.1.3.3

Karena fungsi $e^{- x}$ mendekati $\infty$ , konstanta negatif $- 1$ kali fungsi mendekati $- \infty$ .

$- 4 \cdot 3 \frac{\infty}{- \infty}$

Langkah 6.1.3.4

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$- 4 \cdot 3 \frac{\infty}{- \infty}$

Langkah 6.1.4

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$- 4 \cdot 3 \frac{\infty}{- \infty}$

Langkah 6.2

Karena $\frac{\infty}{- \infty}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2}}{- e^{- x}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [- e^{- x}]}$

Langkah 6.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$- 4 \cdot 3 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [- e^{- x}]}$

Langkah 6.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$- 4 \cdot 3 lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [- e^{- x}]}$

Langkah 6.3.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- e^{- x}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$- 4 \cdot 3 lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{- \frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

Langkah 6.3.4

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.4.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $- x$ .

$- 4 \cdot 3 lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{- \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]}$

Langkah 6.3.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$- 4 \cdot 3 lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{- e^{u} \frac{d}{d x} [- x]}$

Langkah 6.3.4.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- x$ .

$- 4 \cdot 3 lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{- e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]}$

Langkah 6.3.5

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \cdot 3 lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{- e^{- x} \cdot - 1 \frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 6.3.6

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$- 4 \cdot 3 lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{1 e^{- x} \frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 6.3.7

Kalikan $e^{- x}$ dengan $1$ .

$- 4 \cdot 3 lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{- x} \frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 6.3.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 4 \cdot 3 lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{- x} \cdot 1}$

Langkah 6.3.9

Kalikan $e^{- x}$ dengan $1$ .

$- 4 \cdot 3 lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{- x}}$

Langkah 7

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$- 4 \cdot 3 \cdot 2 lim_{x \to - \infty} \frac{x}{e^{- x}}$

Langkah 8

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$- 4 \cdot 3 \cdot 2 \frac{lim_{x \to - \infty} x}{lim_{x \to - \infty} e^{- x}}$

Langkah 8.1.2

Limit pada tak hingga negatif dari polinomial pada derajat ganjil yang koefisien pertamanya positif adalah tak hingga negatif.

$- 4 \cdot 3 \cdot 2 \frac{- \infty}{lim_{x \to - \infty} e^{- x}}$

Langkah 8.1.3

Karena eksponen $- x$ mendekati $\infty$ , jumlah $e^{- x}$ mendekati $\infty$ .

$- 4 \cdot 3 \cdot 2 \frac{- \infty}{\infty}$

Langkah 8.1.4

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$- 4 \cdot 3 \cdot 2 \frac{- \infty}{\infty}$

Langkah 8.2

Karena $\frac{- \infty}{\infty}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{e^{- x}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

Langkah 8.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$- 4 \cdot 3 \cdot 2 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

Langkah 8.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 4 \cdot 3 \cdot 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

Langkah 8.3.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $- x$ .

$- 4 \cdot 3 \cdot 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]}$

Langkah 8.3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$- 4 \cdot 3 \cdot 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [- x]}$

Langkah 8.3.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- x$ .

$- 4 \cdot 3 \cdot 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]}$

Langkah 8.3.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \cdot 3 \cdot 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} \cdot - 1 \frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 8.3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 4 \cdot 3 \cdot 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} \cdot - 1 \cdot 1}$

Langkah 8.3.6

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 4 \cdot 3 \cdot 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} \cdot - 1}$

Langkah 8.3.7

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $e^{- x}$ .

$- 4 \cdot 3 \cdot 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- 1 \cdot e^{- x}}$

Langkah 8.3.8

Tulis kembali $- 1 e^{- x}$ sebagai $- e^{- x}$ .

$- 4 \cdot 3 \cdot 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- e^{- x}}$

Langkah 8.4

Hapus faktor persekutuan dari $1$ dan $- 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1

Tulis kembali $1$ sebagai $- 1 (- 1)$ .

$- 4 \cdot 3 \cdot 2 lim_{x \to - \infty} \frac{- 1 (- 1)}{- e^{- x}}$

Langkah 8.4.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- 4 \cdot 3 \cdot 2 lim_{x \to - \infty} - \frac{1}{e^{- x}}$

Langkah 9

Pindahkan suku $- 1$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$- 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot - 1 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x}}$

Langkah 10

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{e^{- x}}$ mendekati $0$ .

$- 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot - 1 \cdot 0$

Langkah 11

Kalikan $- 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot - 1 \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Kalikan $- 4$ dengan $3$ .

$- 12 \cdot 2 \cdot - 1 \cdot 0$

Langkah 11.2

Kalikan $- 12$ dengan $2$ .

$- 24 \cdot - 1 \cdot 0$

Langkah 11.3

Kalikan $- 24$ dengan $- 1$ .

$24 \cdot 0$

Langkah 11.4

Kalikan $24$ dengan $0$ .

$0$