Kalkulus Contoh

$lim_{x \to \infty} x^{3} e^{- \frac{x}{5}}$

Langkah 1

Tulis kembali $x^{3} e^{- \frac{x}{5}}$ sebagai $\frac{x^{3}}{e^{\frac{x}{5}}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{e^{\frac{x}{5}}}$

Langkah 2

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{3}}{lim_{x \to \infty} e^{\frac{x}{5}}}$

Langkah 2.1.2

Limit pada tak hingga dari polinomial yang koefisien pertamanya positif adalah tak hingga.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{\frac{x}{5}}}$

Langkah 2.1.3

Karena eksponen $\frac{x}{5}$ mendekati $\infty$ , jumlah $e^{\frac{x}{5}}$ mendekati $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Langkah 2.1.4

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{\infty}{\infty}$

Langkah 2.2

Karena $\frac{\infty}{\infty}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{e^{\frac{x}{5}}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{5}}]}$

Langkah 2.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{5}}]}$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{5}}]}$

Langkah 2.3.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = \frac{x}{5}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\frac{x}{5}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{5}]}$

Langkah 2.3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{5}]}$

Langkah 2.3.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{x}{5}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{e^{\frac{x}{5}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{5}]}$

Langkah 2.3.4

Karena $\frac{1}{5}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x}{5}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{e^{\frac{x}{5}} (\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x])}$

Langkah 2.3.5

Gabungkan $\frac{1}{5}$ dan $e^{\frac{x}{5}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{e^{\frac{x}{5}}}{5} \frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 2.3.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{e^{\frac{x}{5}}}{5} \cdot 1}$

Langkah 2.3.7

Kalikan $\frac{e^{\frac{x}{5}}}{5}$ dengan $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{e^{\frac{x}{5}}}{5}}$

Langkah 2.4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$lim_{x \to \infty} 3 x^{2} \frac{5}{e^{\frac{x}{5}}}$

Langkah 2.5

Gabungkan faktor-faktor.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Gabungkan $3$ dan $\frac{5}{e^{\frac{x}{5}}}$ .

$lim_{x \to \infty} x^{2} \frac{3 \cdot 5}{e^{\frac{x}{5}}}$

Langkah 2.5.2

Kalikan $3$ dengan $5$ .

$lim_{x \to \infty} x^{2} \frac{15}{e^{\frac{x}{5}}}$

Langkah 2.5.3

Gabungkan $x^{2}$ dan $\frac{15}{e^{\frac{x}{5}}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} \cdot 15}{e^{\frac{x}{5}}}$

Langkah 2.6

Pindahkan $15$ ke sebelah kiri $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{15 x^{2}}{e^{\frac{x}{5}}}$

Langkah 3

Pindahkan suku $15$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$15 lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{\frac{x}{5}}}$

Langkah 4

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$15 \frac{lim_{x \to \infty} x^{2}}{lim_{x \to \infty} e^{\frac{x}{5}}}$

Langkah 4.1.2

Limit pada tak hingga dari polinomial yang koefisien pertamanya positif adalah tak hingga.

$15 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{\frac{x}{5}}}$

Langkah 4.1.3

Karena eksponen $\frac{x}{5}$ mendekati $\infty$ , jumlah $e^{\frac{x}{5}}$ mendekati $\infty$ .

$15 \frac{\infty}{\infty}$

Langkah 4.1.4

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$15 \frac{\infty}{\infty}$

Langkah 4.2

Karena $\frac{\infty}{\infty}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{\frac{x}{5}}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{5}}]}$

Langkah 4.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$15 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{5}}]}$

Langkah 4.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$15 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{5}}]}$

Langkah 4.3.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = \frac{x}{5}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\frac{x}{5}$ .

$15 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{5}]}$

Langkah 4.3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$15 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{5}]}$

Langkah 4.3.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{x}{5}$ .

$15 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{\frac{x}{5}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{5}]}$

Langkah 4.3.4

Karena $\frac{1}{5}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x}{5}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x]$ .

$15 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{\frac{x}{5}} \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 4.3.5

Gabungkan $\frac{1}{5}$ dan $e^{\frac{x}{5}}$ .

$15 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{e^{\frac{x}{5}}}{5} \frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 4.3.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$15 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{e^{\frac{x}{5}}}{5} \cdot 1}$

Langkah 4.3.7

Kalikan $\frac{e^{\frac{x}{5}}}{5}$ dengan $1$ .

$15 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{e^{\frac{x}{5}}}{5}}$

Langkah 4.4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$15 lim_{x \to \infty} 2 x \frac{5}{e^{\frac{x}{5}}}$

Langkah 4.5

Gabungkan faktor-faktor.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{5}{e^{\frac{x}{5}}}$ .

$15 lim_{x \to \infty} x \frac{2 \cdot 5}{e^{\frac{x}{5}}}$

Langkah 4.5.2

Kalikan $2$ dengan $5$ .

$15 lim_{x \to \infty} x \frac{10}{e^{\frac{x}{5}}}$

Langkah 4.5.3

Gabungkan $x$ dan $\frac{10}{e^{\frac{x}{5}}}$ .

$15 lim_{x \to \infty} \frac{x \cdot 10}{e^{\frac{x}{5}}}$

Langkah 5

Pindahkan suku $10$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$15 \cdot 10 lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{\frac{x}{5}}}$

Langkah 6

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$15 \cdot 10 \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{\frac{x}{5}}}$

Langkah 6.1.2

Limit pada tak hingga dari polinomial yang koefisien pertamanya positif adalah tak hingga.

$15 \cdot 10 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{\frac{x}{5}}}$

Langkah 6.1.3

Karena eksponen $\frac{x}{5}$ mendekati $\infty$ , jumlah $e^{\frac{x}{5}}$ mendekati $\infty$ .

$15 \cdot 10 \frac{\infty}{\infty}$

Langkah 6.1.4

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$15 \cdot 10 \frac{\infty}{\infty}$

Langkah 6.2

Karena $\frac{\infty}{\infty}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{\frac{x}{5}}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{5}}]}$

Langkah 6.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$15 \cdot 10 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{5}}]}$

Langkah 6.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$15 \cdot 10 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{5}}]}$

Langkah 6.3.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = \frac{x}{5}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\frac{x}{5}$ .

$15 \cdot 10 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{5}]}$

Langkah 6.3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$15 \cdot 10 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{5}]}$

Langkah 6.3.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{x}{5}$ .

$15 \cdot 10 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{\frac{x}{5}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{5}]}$

Langkah 6.3.4

Karena $\frac{1}{5}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x}{5}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x]$ .

$15 \cdot 10 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{\frac{x}{5}} \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 6.3.5

Gabungkan $\frac{1}{5}$ dan $e^{\frac{x}{5}}$ .

$15 \cdot 10 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{e^{\frac{x}{5}}}{5} \frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 6.3.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$15 \cdot 10 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{e^{\frac{x}{5}}}{5} \cdot 1}$

Langkah 6.3.7

Kalikan $\frac{e^{\frac{x}{5}}}{5}$ dengan $1$ .

$15 \cdot 10 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{e^{\frac{x}{5}}}{5}}$

Langkah 6.4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$15 \cdot 10 lim_{x \to \infty} 1 \frac{5}{e^{\frac{x}{5}}}$

Langkah 6.5

Kalikan $\frac{5}{e^{\frac{x}{5}}}$ dengan $1$ .

$15 \cdot 10 lim_{x \to \infty} \frac{5}{e^{\frac{x}{5}}}$

Langkah 7

Pindahkan suku $5$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$15 \cdot 10 \cdot 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{\frac{x}{5}}}$

Langkah 8

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{e^{\frac{x}{5}}}$ mendekati $0$ .

$15 \cdot 10 \cdot 5 \cdot 0$

Langkah 9

Kalikan $15 \cdot 10 \cdot 5 \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Kalikan $15$ dengan $10$ .

$150 \cdot 5 \cdot 0$

Langkah 9.2

Kalikan $150$ dengan $5$ .

$750 \cdot 0$

Langkah 9.3

Kalikan $750$ dengan $0$ .

$0$