Kalkulus Contoh

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x}}{x^{2}}$

Langkah 1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to \infty} 2^{x}}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

Langkah 1.2

Karena eksponen $x$ mendekati $\infty$ , jumlah $2^{x}$ mendekati $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

Langkah 1.3

Limit pada tak hingga dari polinomial yang koefisien pertamanya positif adalah tak hingga.

$\frac{\infty}{\infty}$

Langkah 1.4

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{\infty}{\infty}$

Langkah 2

Karena $\frac{\infty}{\infty}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x}}{x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2^{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Langkah 3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2^{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2)}{2 x}$

Langkah 4

Hapus faktor persekutuan dari $2^{x}$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Faktorkan $2$ dari $2^{x} \ln (2)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (2^{x - 1} \ln (2))}{2 x}$

Langkah 4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (2^{x - 1} \ln (2))}{2 (x)}$

Langkah 4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (2^{x - 1} \ln (2))}{2 x}$

Langkah 4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} \ln (2)}{x}$

Langkah 5

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to \infty} 2^{x - 1} \ln (2)}{lim_{x \to \infty} x}$

Langkah 5.1.2

Karena fungsi $2^{x - 1}$ mendekati $\infty$ , konstanta positif $\ln (2)$ kali fungsi juga mendekati $\infty$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1

Pertimbangkan batasnya dengan kelipatan tetap $\ln (2)$ dihapus.

$\frac{lim_{x \to \infty} 2^{x - 1}}{lim_{x \to \infty} x}$

Langkah 5.1.2.2

Karena eksponen $x - 1$ mendekati $\infty$ , jumlah $2^{x - 1}$ mendekati $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x}$

Langkah 5.1.3

Limit pada tak hingga dari polinomial yang koefisien pertamanya positif adalah tak hingga.

$\frac{\infty}{\infty}$

Langkah 5.1.4

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{\infty}{\infty}$

Langkah 5.2

Karena $\frac{\infty}{\infty}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} \ln (2)}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2^{x - 1} \ln (2)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 5.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2^{x - 1} \ln (2)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 5.3.2

Karena $\ln (2)$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2^{x - 1} \ln (2)$ terhadap $x$ adalah $\ln (2) \frac{d}{d x} [2^{x - 1}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (2) \frac{d}{d x} [2^{x - 1}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 5.3.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = 2^{x}$ dan $g (x) = x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x - 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (2) (\frac{d}{d u} [2^{u}] \frac{d}{d x} [x - 1])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 5.3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (2) (2^{u} \ln (2) \frac{d}{d x} [x - 1])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 5.3.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x - 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (2) (2^{x - 1} \ln (2) \frac{d}{d x} [x - 1])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 5.3.4

Naikkan $\ln (2)$ menjadi pangkat $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} (\ln^{1} (2) \ln (2)) \frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 5.3.5

Naikkan $\ln (2)$ menjadi pangkat $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} (\ln^{1} (2) \ln^{1} (2)) \frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 5.3.6

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} {\ln (2)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 5.3.7

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} \ln^{2} (2) \frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 5.3.8

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} \ln^{2} (2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 5.3.9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} \ln^{2} (2) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 5.3.10

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} \ln^{2} (2) (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 5.3.11

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} \ln^{2} (2) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 5.3.12

Kalikan $2^{x - 1}$ dengan $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} \ln^{2} (2)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 5.3.13

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} \ln^{2} (2)}{1}$

Langkah 5.4

Bagilah $2^{x - 1} \ln^{2} (2)$ dengan $1$ .

$lim_{x \to \infty} 2^{x - 1} \ln^{2} (2)$

Langkah 6

Karena fungsi $2^{x - 1}$ mendekati $\infty$ , konstanta positif $\ln^{2} (2)$ kali fungsi juga mendekati $\infty$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Pertimbangkan batasnya dengan kelipatan tetap $\ln^{2} (2)$ dihapus.

$lim_{x \to \infty} 2^{x - 1}$

Langkah 6.2

Karena eksponen $x - 1$ mendekati $\infty$ , jumlah $2^{x - 1}$ mendekati $\infty$ .

$\infty$