Kalkulus Contoh

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 9} - x$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\sqrt{x^{2} + 9} - x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 9}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 9}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 9}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x^{2} + 9}$ sebagai ${(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = x^{2} + 9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2} + 9$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 9] + \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 1.1.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9] + \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 1.1.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} + 9$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9] + \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 1.1.2.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 9$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]) + \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 1.1.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [9]) + \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 1.1.2.5

Karena $9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $9$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 1.1.2.6

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 1.1.2.7

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 1.1.2.8

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 1.1.2.9

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.9.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 1.1.2.9.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{- 1}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 1.1.2.10

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 1.1.2.11

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}} (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 1.1.2.12

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 1.1.2.13

Gabungkan $2$ dan $\frac{{(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} x + \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 1.1.2.14

Gabungkan $\frac{2 {(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ dan $x$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}} x}{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 1.1.2.15

Pindahkan ${(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 1.1.2.16

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 1.1.2.17

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 1$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} - 1$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} - 1$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} - 1$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} - 1 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} - 1 = 0$

Langkah 2.2

Gambarkan setiap sisi persamaan. Penyelesaiannya adalah nilai x dari titik perpotongan.

Tidak ada penyelesaian

Langkah 3

Tidak ada nilai dari $x$ di domain soal awal yang nilai-turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Tidak ditemukan titik kritis

Langkah 4

Tidak ada titik yang membuat turunan $f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} - 1$ sama dengan $0$ atau tidak terdefinisi. Interval untuk memeriksa apakah $f (x) = \sqrt{x^{2} + 9} - x$ naik atau turun yaitu $(- \infty, \infty)$ .

$(- \infty, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan sebarang bilangan, seperti $1$ , dari interval $(- \infty, \infty)$ pada turunan $f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} - 1$ untuk mengetahui apakah hasilnya negatif atau positif. Jika hasilnya negatif, grafiknya menurun pada interval $(- \infty, \infty)$ . Jika hasilnya positif, grafiknya meningkat pada interval $(- \infty, \infty)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (1) = \frac{1}{{({(1)}^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} - 1$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f' (1) = \frac{1}{{(1 + 9)}^{\frac{1}{2}}} - 1$

Langkah 5.2.1.2

Tambahkan $1$ dan $9$ .

$f' (1) = \frac{1}{10^{\frac{1}{2}}} - 1$

Langkah 5.2.2

Jawaban akhirnya adalah $\frac{1}{10^{\frac{1}{2}}} - 1$ .

$\frac{1}{10^{\frac{1}{2}}} - 1$

Langkah 6

Hasil dari mensubstitusikan $1$ ke dalam $f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} - 1$ adalah $\frac{1}{10^{\frac{1}{2}}} - 1$ , yang mana negatif sehingga grafiknya menurun pada interval $(- \infty, \infty)$ .

Menurun pada $(- \infty, \infty)$

Langkah 7

Menurun di sepanjang interval $(- \infty, \infty)$ berarti bahwa fungsinya selalu menurun.

Selalu Menurun

Langkah 8