Kalkulus Contoh

$f (x) = 9 x + 7 x^{- 1}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $9 x + 7 x^{- 1}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [7 x^{- 1}]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [7 x^{- 1}]$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $9 x$ terhadap $x$ adalah $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7 x^{- 1}]$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7 x^{- 1}]$

Langkah 1.1.2.3

Kalikan $9$ dengan $1$ .

$9 + \frac{d}{d x} [7 x^{- 1}]$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [7 x^{- 1}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $7$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $7 x^{- 1}$ terhadap $x$ adalah $7 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$9 + 7 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$9 + 7 (- x^{- 2})$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $7$ .

$9 - 7 x^{- 2}$

Langkah 1.1.4

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = - 7 x^{- 2} + 9$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- 7 x^{- 2} + 9$ .

$- 7 x^{- 2} + 9$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- 7 x^{- 2} + 9 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$- 7 x^{- 2} + 9 = 0$

Langkah 2.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 7 \frac{1}{x^{2}} + 9 = 0$

Langkah 2.2.2

Gabungkan $- 7$ dan $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 7}{x^{2}} + 9 = 0$

Langkah 2.2.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{7}{x^{2}} + 9 = 0$

Langkah 2.3

Kurangkan $9$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- \frac{7}{x^{2}} = - 9$

Langkah 2.4

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$x^{2}, 1$

Langkah 2.4.2

KPK dari satu dan pernyataan apa pun adalah pernyataan itu sendiri.

$x^{2}$

Langkah 2.5

Kalikan setiap suku pada $- \frac{7}{x^{2}} = - 9$ dengan $x^{2}$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Kalikan setiap suku dalam $- \frac{7}{x^{2}} = - 9$ dengan $x^{2}$ .

$- \frac{7}{x^{2}} x^{2} = - 9 x^{2}$

Langkah 2.5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{7}{x^{2}}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{- 7}{x^{2}} x^{2} = - 9 x^{2}$

Langkah 2.5.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 7}{x^{2}} x^{2} = - 9 x^{2}$

Langkah 2.5.2.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 7 = - 9 x^{2}$

Langkah 2.6

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $- 9 x^{2} = - 7$ .

$- 9 x^{2} = - 7$

Langkah 2.6.2

Bagi setiap suku pada $- 9 x^{2} = - 7$ dengan $- 9$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.1

Bagilah setiap suku di $- 9 x^{2} = - 7$ dengan $- 9$ .

$\frac{- 9 x^{2}}{- 9} = \frac{- 7}{- 9}$

Langkah 2.6.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 9 x^{2}}{- 9} = \frac{- 7}{- 9}$

Langkah 2.6.2.2.1.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} = \frac{- 7}{- 9}$

Langkah 2.6.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.3.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$x^{2} = \frac{7}{9}$

Langkah 2.6.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{\frac{7}{9}}$

Langkah 2.6.4

Sederhanakan $\pm \sqrt{\frac{7}{9}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.4.1

Tulis kembali $\sqrt{\frac{7}{9}}$ sebagai $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{9}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{9}}$

Langkah 2.6.4.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.4.2.1

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3^{2}}}$

Langkah 2.6.4.2.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm \frac{\sqrt{7}}{3}$

Langkah 2.6.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = \frac{\sqrt{7}}{3}$

Langkah 2.6.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - \frac{\sqrt{7}}{3}$

Langkah 2.6.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = \frac{\sqrt{7}}{3}, - \frac{\sqrt{7}}{3}$

Langkah 3

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $\frac{\sqrt{7}}{3}, - \frac{\sqrt{7}}{3}$ .

$\frac{\sqrt{7}}{3}, - \frac{\sqrt{7}}{3}$

Langkah 4

Atur bilangan pokok dalam $x^{- 2}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x = 0$

Langkah 5

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang menjadikan turunan $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{7}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt{7}}{3}, 0) \cup (0, \frac{\sqrt{7}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{7}}{3}, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, - \frac{\sqrt{7}}{3})$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 1.8819171$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 1.8819171) = - 7 {(- 1.8819171)}^{- 2} + 9$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 1.8819171) = - 7 \frac{1}{{(- 1.8819171)}^{2}} + 9$

Langkah 6.2.1.2

Naikkan $- 1.8819171$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 1.8819171) = - 7 (\frac{1}{3.54161197}) + 9$

Langkah 6.2.1.3

Bagilah $1$ dengan $3.54161197$ .

$f' (- 1.8819171) = - 7 \cdot 0.2823573 + 9$

Langkah 6.2.1.4

Kalikan $- 7$ dengan $0.2823573$ .

$f' (- 1.8819171) = - 1.97650111 + 9$

Langkah 6.2.2

Tambahkan $- 1.97650111$ dan $9$ .

$f' (- 1.8819171) = 7.02349888$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $7.02349888$ .

$7.02349888$

Langkah 6.3

Pada $x = - 1.8819171$ , turunannya adalah $7.02349888$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(- \infty, - \frac{\sqrt{7}}{3})$ .

Meningkat pada $(- \infty, - \frac{\sqrt{7}}{3})$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(- 0.8819171, 0)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 0.44095855$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 0.44095855) = - 7 {(- 0.44095855)}^{- 2} + 9$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 0.44095855) = - 7 \frac{1}{{(- 0.44095855)}^{2}} + 9$

Langkah 7.2.1.2

Naikkan $- 0.44095855$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 0.44095855) = - 7 (\frac{1}{0.19444444}) + 9$

Langkah 7.2.1.3

Bagilah $1$ dengan $0.19444444$ .

$f' (- 0.44095855) = - 7 \cdot 5.14285718 + 9$

Langkah 7.2.1.4

Kalikan $- 7$ dengan $5.14285718$ .

$f' (- 0.44095855) = - 36.0000003 + 9$

Langkah 7.2.2

Tambahkan $- 36.0000003$ dan $9$ .

$f' (- 0.44095855) = - 27.0000003$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 27.0000003$ .

$- 27.0000003$

Langkah 7.3

Pada $x = - 0.44095855$ , turunannya adalah $- 27.0000003$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- 0.8819171, 0)$ .

Menurun pada $(- \frac{\sqrt{7}}{3}, 0)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 8

Substitusikan nilai dari interval $(0, \frac{\sqrt{7}}{3})$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Ganti variabel $x$ dengan $0.44095855$ pada pernyataan tersebut.

$f' (0.44095855) = - 7 {(0.44095855)}^{- 2} + 9$

Langkah 8.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (0.44095855) = - 7 \frac{1}{{0.44095855}^{2}} + 9$

Langkah 8.2.1.2

Naikkan $0.44095855$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (0.44095855) = - 7 (\frac{1}{0.19444444}) + 9$

Langkah 8.2.1.3

Bagilah $1$ dengan $0.19444444$ .

$f' (0.44095855) = - 7 \cdot 5.14285718 + 9$

Langkah 8.2.1.4

Kalikan $- 7$ dengan $5.14285718$ .

$f' (0.44095855) = - 36.0000003 + 9$

Langkah 8.2.2

Tambahkan $- 36.0000003$ dan $9$ .

$f' (0.44095855) = - 27.0000003$

Langkah 8.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 27.0000003$ .

$- 27.0000003$

Langkah 8.3

Pada $x = 0.44095855$ , turunannya adalah $- 27.0000003$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(0, \frac{\sqrt{7}}{3})$ .

Menurun pada $(0, \frac{\sqrt{7}}{3})$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 9

Substitusikan nilai dari interval $(\frac{\sqrt{7}}{3}, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Ganti variabel $x$ dengan $1.8819171$ pada pernyataan tersebut.

$f' (1.8819171) = - 7 {(1.8819171)}^{- 2} + 9$

Langkah 9.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (1.8819171) = - 7 \frac{1}{{1.8819171}^{2}} + 9$

Langkah 9.2.1.2

Naikkan $1.8819171$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (1.8819171) = - 7 (\frac{1}{3.54161197}) + 9$

Langkah 9.2.1.3

Bagilah $1$ dengan $3.54161197$ .

$f' (1.8819171) = - 7 \cdot 0.2823573 + 9$

Langkah 9.2.1.4

Kalikan $- 7$ dengan $0.2823573$ .

$f' (1.8819171) = - 1.97650111 + 9$

Langkah 9.2.2

Tambahkan $- 1.97650111$ dan $9$ .

$f' (1.8819171) = 7.02349888$

Langkah 9.2.3

Jawaban akhirnya adalah $7.02349888$ .

$7.02349888$

Langkah 9.3

Pada $x = 1.8819171$ , turunannya adalah $7.02349888$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(\frac{\sqrt{7}}{3}, \infty)$ .

Meningkat pada $(\frac{\sqrt{7}}{3}, \infty)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 10

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(- \infty, - \frac{\sqrt{7}}{3}), (\frac{\sqrt{7}}{3}, \infty)$

Menurun pada: $(- \frac{\sqrt{7}}{3}, 0), (0, \frac{\sqrt{7}}{3})$

Langkah 11