Kalkulus Contoh

$f (x) = (x - 4) e^{- 3 x}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x - 4$ dan $g (x) = e^{- 3 x}$ .

$(x - 4) \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}] + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x - 4]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = - 3 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $- 3 x$ .

$(x - 4) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 3 x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x - 4]$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$(x - 4) (e^{u} \frac{d}{d x} [- 3 x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x - 4]$

Langkah 1.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- 3 x$ .

$(x - 4) (e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [- 3 x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x - 4]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3 x$ terhadap $x$ adalah $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x - 4) e^{- 3 x} (- 3 \frac{d}{d x} [x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x - 4]$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$(x - 4) e^{- 3 x} (- 3 \cdot 1) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x - 4]$

Langkah 1.1.3.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.3.1

Kalikan $- 3$ dengan $1$ .

$(x - 4) e^{- 3 x} \cdot - 3 + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x - 4]$

Langkah 1.1.3.3.2

Pindahkan $- 3$ ke sebelah kiri $(x - 4) e^{- 3 x}$ .

$- 3 \cdot ((x - 4) e^{- 3 x}) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x - 4]$

Langkah 1.1.3.4

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 4$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$- 3 (x - 4) e^{- 3 x} + e^{- 3 x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Langkah 1.1.3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 3 (x - 4) e^{- 3 x} + e^{- 3 x} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Langkah 1.1.3.6

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$- 3 (x - 4) e^{- 3 x} + e^{- 3 x} (1 + 0)$

Langkah 1.1.3.7

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.7.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$- 3 (x - 4) e^{- 3 x} + e^{- 3 x} \cdot 1$

Langkah 1.1.3.7.2

Kalikan $e^{- 3 x}$ dengan $1$ .

$- 3 (x - 4) e^{- 3 x} + e^{- 3 x}$

Langkah 1.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Terapkan sifat distributif.

$(- 3 x - 3 \cdot - 4) e^{- 3 x} + e^{- 3 x}$

Langkah 1.1.4.2

Terapkan sifat distributif.

$- 3 x e^{- 3 x} - 3 \cdot - 4 e^{- 3 x} + e^{- 3 x}$

Langkah 1.1.4.3

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.3.1

Kalikan $- 3$ dengan $- 4$ .

$- 3 x e^{- 3 x} + 12 e^{- 3 x} + e^{- 3 x}$

Langkah 1.1.4.3.2

Tambahkan $12 e^{- 3 x}$ dan $e^{- 3 x}$ .

$- 3 x e^{- 3 x} + 13 e^{- 3 x}$

Langkah 1.1.4.4

Susun kembali suku-suku.

$- 3 e^{- 3 x} x + 13 e^{- 3 x}$

Langkah 1.1.4.5

Susun kembali faktor-faktor dalam $- 3 e^{- 3 x} x + 13 e^{- 3 x}$ .

$f' (x) = - 3 x e^{- 3 x} + 13 e^{- 3 x}$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- 3 x e^{- 3 x} + 13 e^{- 3 x}$ .

$- 3 x e^{- 3 x} + 13 e^{- 3 x}$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- 3 x e^{- 3 x} + 13 e^{- 3 x} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$- 3 x e^{- 3 x} + 13 e^{- 3 x} = 0$

Langkah 2.2

Faktorkan $e^{- 3 x}$ dari $- 3 x e^{- 3 x} + 13 e^{- 3 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Faktorkan $e^{- 3 x}$ dari $- 3 x e^{- 3 x}$ .

$e^{- 3 x} (- 3 x) + 13 e^{- 3 x} = 0$

Langkah 2.2.2

Faktorkan $e^{- 3 x}$ dari $13 e^{- 3 x}$ .

$e^{- 3 x} (- 3 x) + e^{- 3 x} \cdot 13 = 0$

Langkah 2.2.3

Faktorkan $e^{- 3 x}$ dari $e^{- 3 x} (- 3 x) + e^{- 3 x} \cdot 13$ .

$e^{- 3 x} (- 3 x + 13) = 0$

Langkah 2.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$e^{- 3 x} = 0$

$- 3 x + 13 = 0$

Langkah 2.4

Atur $e^{- 3 x}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Atur $e^{- 3 x}$ sama dengan $0$ .

$e^{- 3 x} = 0$

Langkah 2.4.2

Selesaikan $e^{- 3 x} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{- 3 x}) = \ln (0)$

Langkah 2.4.2.2

Persamaannya tidak dapat diselesaikan karena $\ln (0)$ tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 2.4.2.3

Tidak ada penyelesaian untuk $e^{- 3 x} = 0$

Tidak ada penyelesaian

Langkah 2.5

Atur $- 3 x + 13$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Atur $- 3 x + 13$ sama dengan $0$ .

$- 3 x + 13 = 0$

Langkah 2.5.2

Selesaikan $- 3 x + 13 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1

Kurangkan $13$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 3 x = - 13$

Langkah 2.5.2.2

Bagi setiap suku pada $- 3 x = - 13$ dengan $- 3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.2.1

Bagilah setiap suku di $- 3 x = - 13$ dengan $- 3$ .

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 13}{- 3}$

Langkah 2.5.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 13}{- 3}$

Langkah 2.5.2.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 13}{- 3}$

Langkah 2.5.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.2.3.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$x = \frac{13}{3}$

Langkah 2.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $e^{- 3 x} (- 3 x + 13) = 0$ benar.

$x = \frac{13}{3}$

Langkah 3

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $\frac{13}{3}$ .

$\frac{13}{3}$

Langkah 4

Setelah mencari titik yang membuat turunan $f' (x) = - 3 x e^{- 3 x} + 13 e^{- 3 x}$ sama dengan $0$ atau tidak terdefinisi, interval untuk memeriksa di mana $f (x) = (x - 4) e^{- 3 x}$ meningkat dan di mana menurun yaitu $(- \infty, \frac{13}{3}) \cup (\frac{13}{3}, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{13}{3}) \cup (\frac{13}{3}, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, \frac{13}{3})$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{10}{3}$ pada pernyataan tersebut.

$f' (\frac{10}{3}) = - 3 (\frac{10}{3}) \cdot e^{- 3 (\frac{10}{3})} + 13 e^{- 3 (\frac{10}{3})}$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.1

Faktorkan $3$ dari $- 3$ .

$f' (\frac{10}{3}) = 3 (- 1) (\frac{10}{3}) \cdot e^{- 3 (\frac{10}{3})} + 13 e^{- 3 (\frac{10}{3})}$

Langkah 5.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (\frac{10}{3}) = 3 \cdot (- 1 (\frac{10}{3})) \cdot e^{- 3 (\frac{10}{3})} + 13 e^{- 3 (\frac{10}{3})}$

Langkah 5.2.1.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (\frac{10}{3}) = - 1 \cdot 10 \cdot e^{- 3 (\frac{10}{3})} + 13 e^{- 3 (\frac{10}{3})}$

Langkah 5.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $10$ .

$f' (\frac{10}{3}) = - 10 \cdot e^{- 3 (\frac{10}{3})} + 13 e^{- 3 (\frac{10}{3})}$

Langkah 5.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.3.1

Faktorkan $3$ dari $- 3$ .

$f' (\frac{10}{3}) = - 10 \cdot e^{3 (- 1) (\frac{10}{3})} + 13 e^{- 3 (\frac{10}{3})}$

Langkah 5.2.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (\frac{10}{3}) = - 10 \cdot e^{3 \cdot (- 1 (\frac{10}{3}))} + 13 e^{- 3 (\frac{10}{3})}$

Langkah 5.2.1.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (\frac{10}{3}) = - 10 \cdot e^{- 1 \cdot 10} + 13 e^{- 3 (\frac{10}{3})}$

Langkah 5.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $10$ .

$f' (\frac{10}{3}) = - 10 \cdot e^{- 10} + 13 e^{- 3 (\frac{10}{3})}$

Langkah 5.2.1.5

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (\frac{10}{3}) = - 10 \cdot \frac{1}{e^{10}} + 13 e^{- 3 (\frac{10}{3})}$

Langkah 5.2.1.6

Gabungkan $- 10$ dan $\frac{1}{e^{10}}$ .

$f' (\frac{10}{3}) = \frac{- 10}{e^{10}} + 13 e^{- 3 (\frac{10}{3})}$

Langkah 5.2.1.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (\frac{10}{3}) = - \frac{10}{e^{10}} + 13 e^{- 3 (\frac{10}{3})}$

Langkah 5.2.1.8

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.8.1

Faktorkan $3$ dari $- 3$ .

$f' (\frac{10}{3}) = - \frac{10}{e^{10}} + 13 e^{3 (- 1) (\frac{10}{3})}$

Langkah 5.2.1.8.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (\frac{10}{3}) = - \frac{10}{e^{10}} + 13 e^{3 \cdot (- 1 (\frac{10}{3}))}$

Langkah 5.2.1.8.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (\frac{10}{3}) = - \frac{10}{e^{10}} + 13 e^{- 1 \cdot 10}$

Langkah 5.2.1.9

Kalikan $- 1$ dengan $10$ .

$f' (\frac{10}{3}) = - \frac{10}{e^{10}} + 13 e^{- 10}$

Langkah 5.2.1.10

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (\frac{10}{3}) = - \frac{10}{e^{10}} + 13 (\frac{1}{e^{10}})$

Langkah 5.2.1.11

Gabungkan $13$ dan $\frac{1}{e^{10}}$ .

$f' (\frac{10}{3}) = - \frac{10}{e^{10}} + \frac{13}{e^{10}}$

Langkah 5.2.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (\frac{10}{3}) = \frac{- 10 + 13}{e^{10}}$

Langkah 5.2.2.2

Tambahkan $- 10$ dan $13$ .

$f' (\frac{10}{3}) = \frac{3}{e^{10}}$

Langkah 5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $\frac{3}{e^{10}}$ .

$\frac{3}{e^{10}}$

Langkah 5.3

Pada $x = \frac{10}{3}$ , turunannya adalah $\frac{3}{e^{10}}$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(- \infty, \frac{13}{3})$ .

Meningkat pada $(- \infty, \frac{13}{3})$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(\frac{13}{3}, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{16}{3}$ pada pernyataan tersebut.

$f' (\frac{16}{3}) = - 3 (\frac{16}{3}) \cdot e^{- 3 (\frac{16}{3})} + 13 e^{- 3 (\frac{16}{3})}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1.1

Faktorkan $3$ dari $- 3$ .

$f' (\frac{16}{3}) = 3 (- 1) (\frac{16}{3}) \cdot e^{- 3 (\frac{16}{3})} + 13 e^{- 3 (\frac{16}{3})}$

Langkah 6.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (\frac{16}{3}) = 3 \cdot (- 1 (\frac{16}{3})) \cdot e^{- 3 (\frac{16}{3})} + 13 e^{- 3 (\frac{16}{3})}$

Langkah 6.2.1.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (\frac{16}{3}) = - 1 \cdot 16 \cdot e^{- 3 (\frac{16}{3})} + 13 e^{- 3 (\frac{16}{3})}$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $16$ .

$f' (\frac{16}{3}) = - 16 \cdot e^{- 3 (\frac{16}{3})} + 13 e^{- 3 (\frac{16}{3})}$

Langkah 6.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.3.1

Faktorkan $3$ dari $- 3$ .

$f' (\frac{16}{3}) = - 16 \cdot e^{3 (- 1) (\frac{16}{3})} + 13 e^{- 3 (\frac{16}{3})}$

Langkah 6.2.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (\frac{16}{3}) = - 16 \cdot e^{3 \cdot (- 1 (\frac{16}{3}))} + 13 e^{- 3 (\frac{16}{3})}$

Langkah 6.2.1.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (\frac{16}{3}) = - 16 \cdot e^{- 1 \cdot 16} + 13 e^{- 3 (\frac{16}{3})}$

Langkah 6.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $16$ .

$f' (\frac{16}{3}) = - 16 \cdot e^{- 16} + 13 e^{- 3 (\frac{16}{3})}$

Langkah 6.2.1.5

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (\frac{16}{3}) = - 16 \cdot \frac{1}{e^{16}} + 13 e^{- 3 (\frac{16}{3})}$

Langkah 6.2.1.6

Gabungkan $- 16$ dan $\frac{1}{e^{16}}$ .

$f' (\frac{16}{3}) = \frac{- 16}{e^{16}} + 13 e^{- 3 (\frac{16}{3})}$

Langkah 6.2.1.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (\frac{16}{3}) = - \frac{16}{e^{16}} + 13 e^{- 3 (\frac{16}{3})}$

Langkah 6.2.1.8

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.8.1

Faktorkan $3$ dari $- 3$ .

$f' (\frac{16}{3}) = - \frac{16}{e^{16}} + 13 e^{3 (- 1) (\frac{16}{3})}$

Langkah 6.2.1.8.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (\frac{16}{3}) = - \frac{16}{e^{16}} + 13 e^{3 \cdot (- 1 (\frac{16}{3}))}$

Langkah 6.2.1.8.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (\frac{16}{3}) = - \frac{16}{e^{16}} + 13 e^{- 1 \cdot 16}$

Langkah 6.2.1.9

Kalikan $- 1$ dengan $16$ .

$f' (\frac{16}{3}) = - \frac{16}{e^{16}} + 13 e^{- 16}$

Langkah 6.2.1.10

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (\frac{16}{3}) = - \frac{16}{e^{16}} + 13 (\frac{1}{e^{16}})$

Langkah 6.2.1.11

Gabungkan $13$ dan $\frac{1}{e^{16}}$ .

$f' (\frac{16}{3}) = - \frac{16}{e^{16}} + \frac{13}{e^{16}}$

Langkah 6.2.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (\frac{16}{3}) = \frac{- 16 + 13}{e^{16}}$

Langkah 6.2.2.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.2.1

Tambahkan $- 16$ dan $13$ .

$f' (\frac{16}{3}) = \frac{- 3}{e^{16}}$

Langkah 6.2.2.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (\frac{16}{3}) = - \frac{3}{e^{16}}$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{3}{e^{16}}$ .

$- \frac{3}{e^{16}}$

Langkah 6.3

Pada $x = \frac{16}{3}$ , turunannya adalah $- \frac{3}{e^{16}}$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(\frac{13}{3}, \infty)$ .

Menurun pada $(\frac{13}{3}, \infty)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 7

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(- \infty, \frac{13}{3})$

Menurun pada: $(\frac{13}{3}, \infty)$

Langkah 8