Kalkulus Contoh

$f (x) = \cos (\frac{4 x}{3})$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = \frac{4 x}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\frac{4 x}{3}$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{4 x}{3}]$

Langkah 1.1.1.2

Turunan dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{4 x}{3}]$

Langkah 1.1.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{4 x}{3}$ .

$- \sin (\frac{4 x}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{4 x}{3}]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $\frac{4}{3}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{4 x}{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (\frac{4 x}{3}) (\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.1.2.2

Gabungkan $\frac{4}{3}$ dan $\sin (\frac{4 x}{3})$ .

$- \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3} \cdot 1$

Langkah 1.1.2.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f' (x) = - \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3}$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3}$ .

$- \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3}$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$- \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3} = 0$

Langkah 2.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$4 \sin (\frac{4 x}{3}) = 0$

Langkah 2.3

Selesaikan persamaan untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagi setiap suku pada $4 \sin (\frac{4 x}{3}) = 0$ dengan $4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Bagilah setiap suku di $4 \sin (\frac{4 x}{3}) = 0$ dengan $4$ .

$\frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{4} = \frac{0}{4}$

Langkah 2.3.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{4} = \frac{0}{4}$

Langkah 2.3.1.2.1.2

Bagilah $\sin (\frac{4 x}{3})$ dengan $1$ .

$\sin (\frac{4 x}{3}) = \frac{0}{4}$

Langkah 2.3.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.3.1

Bagilah $0$ dengan $4$ .

$\sin (\frac{4 x}{3}) = 0$

Langkah 2.3.2

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$\frac{4 x}{3} = \arcsin (0)$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Nilai eksak dari $\arcsin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{4 x}{3} = 0$

Langkah 2.3.4

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$4 x = 0$

Langkah 2.3.5

Bagi setiap suku pada $4 x = 0$ dengan $4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Bagilah setiap suku di $4 x = 0$ dengan $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Langkah 2.3.5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Langkah 2.3.5.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Langkah 2.3.5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.3.1

Bagilah $0$ dengan $4$ .

$x = 0$

Langkah 2.3.6

Fungsi sinus positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $π$ untuk menemukan penyelesaian di kuadran kedua.

$\frac{4 x}{3} = π - 0$

Langkah 2.3.7

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.7.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 x}{3} = \frac{3}{4} (π - 0)$

Langkah 2.3.7.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.7.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.7.2.1.1

Sederhanakan $\frac{3}{4} \cdot \frac{4 x}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.7.2.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.7.2.1.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 x}{3} = \frac{3}{4} (π - 0)$

Langkah 2.3.7.2.1.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{4} (4 x) = \frac{3}{4} (π - 0)$

Langkah 2.3.7.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.7.2.1.1.2.1

Faktorkan $4$ dari $4 x$ .

$\frac{1}{4} (4 (x)) = \frac{3}{4} (π - 0)$

Langkah 2.3.7.2.1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{4} (4 x) = \frac{3}{4} (π - 0)$

Langkah 2.3.7.2.1.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x = \frac{3}{4} (π - 0)$

Langkah 2.3.7.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.7.2.2.1

Sederhanakan $\frac{3}{4} (π - 0)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.7.2.2.1.1

Kurangi $0$ dengan $π$ .

$x = \frac{3}{4} π$

Langkah 2.3.7.2.2.1.2

Gabungkan $\frac{3}{4}$ dan $π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Langkah 2.3.8

Tentukan periode dari $\sin (\frac{4 x}{3})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.8.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 2.3.8.2

Ganti $b$ dengan $\frac{4}{3}$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| \frac{4}{3} |}$

Langkah 2.3.8.3

$\frac{4}{3}$ mendekati $1.\overline{3}$ yang positif sehingga menghapus nilai mutlak

$\frac{2 π}{\frac{4}{3}}$

Langkah 2.3.8.4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$2 π \frac{3}{4}$

Langkah 2.3.8.5

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.8.5.1

Faktorkan $2$ dari $2 π$ .

$2 (π) \frac{3}{4}$

Langkah 2.3.8.5.2

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$2 (π) \frac{3}{2 (2)}$

Langkah 2.3.8.5.3

Batalkan faktor persekutuan.

$2 π \frac{3}{2 \cdot 2}$

Langkah 2.3.8.5.4

Tulis kembali pernyataannya.

$π \frac{3}{2}$

Langkah 2.3.8.6

Gabungkan $π$ dan $\frac{3}{2}$ .

$\frac{π \cdot 3}{2}$

Langkah 2.3.8.7

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Langkah 2.3.9

Periode dari fungsi $\sin (\frac{4 x}{3})$ adalah $\frac{3 π}{2}$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $\frac{3 π}{2}$ radian di kedua arah.

$x = \frac{3 π n}{2}, \frac{3 π}{4} + \frac{3 π n}{2}$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 2.4

Gabungkan jawabannya.

$x = \frac{3 π n}{4}$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 3

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $\frac{3 π n}{4}$ .

$\frac{3 π n}{4}$

Langkah 4

Setelah mencari titik yang membuat turunan $f' (x) = - \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3}$ sama dengan $0$ atau tidak terdefinisi, interval untuk memeriksa di mana $f (x) = \cos (\frac{4 x}{3})$ meningkat dan di mana menurun yaitu $(- \infty, \frac{3 π n}{4}) \cup (\frac{3 π n}{4}, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{3 π n}{4}) \cup (\frac{3 π n}{4}, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, \frac{3 π n}{4})$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{3 π n}{4} - 1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n}{4} - 1)}{3})}{3}$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4})}{3})}{3}$

Langkah 5.2.1.2

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4})}{3})}{3}$

Langkah 5.2.1.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n - 1 \cdot 4}{4})}{3})}{3}$

Langkah 5.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n - 4}{4})}{3})}{3}$

Langkah 5.2.2

Gabungkan $4$ dan $\frac{3 π n - 4}{4}$ .

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{\frac{4 (3 π n - 4)}{4}}{3})}{3}$

Langkah 5.2.3

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Kurangi pernyataan $\frac{4 (3 π n - 4)}{4}$ dengan membatalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{\frac{4 (3 π n - 4)}{4}}{3})}{3}$

Langkah 5.2.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{\frac{3 π n - 4}{1}}{3})}{3}$

Langkah 5.2.3.2

Bagilah $3 π n - 4$ dengan $1$ .

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{3 π n - 4}{3})}{3}$

Langkah 5.2.4

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{4 \sin (\frac{3 π n - 4}{3})}{3}$ .

$- \frac{4 \sin (\frac{3 π n - 4}{3})}{3}$

Langkah 5.3

Pada $x = \frac{3 π n}{4} - 1$ , turunannya adalah $- \frac{4 \sin (\frac{3 π n - 4}{3})}{3}$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- \infty, \frac{3 π n}{4})$ .

Menurun pada $(- \infty, \frac{3 π n}{4})$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(\frac{3 π n}{4}, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{3 π n}{4} + 1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (\frac{3 π n}{4} + 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n}{4} + 1)}{3})}{3}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$f' (\frac{3 π n}{4} + 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n}{4} + \frac{4}{4})}{3})}{3}$

Langkah 6.2.1.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (\frac{3 π n}{4} + 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n + 4}{4})}{3})}{3}$

Langkah 6.2.2

Gabungkan $4$ dan $\frac{3 π n + 4}{4}$ .

$f' (\frac{3 π n}{4} + 1) = - \frac{4 \sin (\frac{\frac{4 (3 π n + 4)}{4}}{3})}{3}$

Langkah 6.2.3

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1

Kurangi pernyataan $\frac{4 (3 π n + 4)}{4}$ dengan membatalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (\frac{3 π n}{4} + 1) = - \frac{4 \sin (\frac{\frac{4 (3 π n + 4)}{4}}{3})}{3}$

Langkah 6.2.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (\frac{3 π n}{4} + 1) = - \frac{4 \sin (\frac{\frac{3 π n + 4}{1}}{3})}{3}$

Langkah 6.2.3.2

Bagilah $3 π n + 4$ dengan $1$ .

$f' (\frac{3 π n}{4} + 1) = - \frac{4 \sin (\frac{3 π n + 4}{3})}{3}$

Langkah 6.2.4

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{4 \sin (\frac{3 π n + 4}{3})}{3}$ .

$- \frac{4 \sin (\frac{3 π n + 4}{3})}{3}$

Langkah 6.3

Pada $x = \frac{3 π n}{4} + 1$ , turunannya adalah $- \frac{4 \sin (\frac{3 π n + 4}{3})}{3}$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(\frac{3 π n}{4}, \infty)$ .

Menurun pada $(\frac{3 π n}{4}, \infty)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 7

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Menurun pada: $(- \infty, \frac{3 π n}{4}), (\frac{3 π n}{4}, \infty)$

Langkah 8