Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{x^{4}}{4} - 2 x^{3} + 4 x^{2}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{x^{4}}{4} - 2 x^{3} + 4 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x^{4}}{4}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$\frac{1}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

Langkah 1.1.2.3

Gabungkan $4$ dan $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

Langkah 1.1.2.4

Gabungkan $\frac{4}{4}$ dan $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

Langkah 1.1.2.5

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

Langkah 1.1.2.5.2

Bagilah $x^{3}$ dengan $1$ .

$x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$x^{3} - 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $3$ dengan $- 2$ .

$x^{3} - 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

Langkah 1.1.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{3} - 6 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.1.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$x^{3} - 6 x^{2} + 4 (2 x)$

Langkah 1.1.4.3

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$f' (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 8 x$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $x^{3} - 6 x^{2} + 8 x$ .

$x^{3} - 6 x^{2} + 8 x$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $x^{3} - 6 x^{2} + 8 x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$x^{3} - 6 x^{2} + 8 x = 0$

Langkah 2.2

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{3} - 6 x^{2} + 8 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Faktorkan $x$ dari $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} - 6 x^{2} + 8 x = 0$

Langkah 2.2.1.2

Faktorkan $x$ dari $- 6 x^{2}$ .

$x \cdot x^{2} + x (- 6 x) + 8 x = 0$

Langkah 2.2.1.3

Faktorkan $x$ dari $8 x$ .

$x \cdot x^{2} + x (- 6 x) + x \cdot 8 = 0$

Langkah 2.2.1.4

Faktorkan $x$ dari $x \cdot x^{2} + x (- 6 x)$ .

$x (x^{2} - 6 x) + x \cdot 8 = 0$

Langkah 2.2.1.5

Faktorkan $x$ dari $x (x^{2} - 6 x) + x \cdot 8$ .

$x (x^{2} - 6 x + 8) = 0$

Langkah 2.2.2

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Faktorkan $x^{2} - 6 x + 8$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $8$ dan jumlahnya $- 6$ .

$- 4, - 2$

Langkah 2.2.2.1.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$x ((x - 4) (x - 2)) = 0$

Langkah 2.2.2.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$x (x - 4) (x - 2) = 0$

Langkah 2.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x = 0$

$x - 4 = 0$

$x - 2 = 0$

Langkah 2.4

Atur $x$ sama dengan $0$ .

$x = 0$

Langkah 2.5

Atur $x - 4$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Atur $x - 4$ sama dengan $0$ .

$x - 4 = 0$

Langkah 2.5.2

Tambahkan $4$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 4$

Langkah 2.6

Atur $x - 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Atur $x - 2$ sama dengan $0$ .

$x - 2 = 0$

Langkah 2.6.2

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 2$

Langkah 2.7

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $x (x - 4) (x - 2) = 0$ benar.

$x = 0, 4, 2$

Langkah 3

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $0, 4, 2$ .

$0, 4, 2$

Langkah 4

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang menjadikan turunan $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, 0) \cup (0, 2) \cup (2, 4) \cup (4, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, 0)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 1) = {(- 1)}^{3} - 6 {(- 1)}^{2} + 8 (- 1)$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$f' (- 1) = - 1 - 6 {(- 1)}^{2} + 8 (- 1)$

Langkah 5.2.1.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 1) = - 1 - 6 \cdot 1 + 8 (- 1)$

Langkah 5.2.1.3

Kalikan $- 6$ dengan $1$ .

$f' (- 1) = - 1 - 6 + 8 (- 1)$

Langkah 5.2.1.4

Kalikan $8$ dengan $- 1$ .

$f' (- 1) = - 1 - 6 - 8$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan dengan mengurangkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Kurangi $6$ dengan $- 1$ .

$f' (- 1) = - 7 - 8$

Langkah 5.2.2.2

Kurangi $8$ dengan $- 7$ .

$f' (- 1) = - 15$

Langkah 5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 15$ .

$- 15$

Langkah 5.3

Pada $x = - 1$ , turunannya adalah $- 15$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- \infty, 0)$ .

Menurun pada $(- \infty, 0)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(0, 2)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (1) = {(1)}^{3} - 6 {(1)}^{2} + 8 (1)$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f' (1) = 1 - 6 {(1)}^{2} + 8 (1)$

Langkah 6.2.1.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f' (1) = 1 - 6 \cdot 1 + 8 (1)$

Langkah 6.2.1.3

Kalikan $- 6$ dengan $1$ .

$f' (1) = 1 - 6 + 8 (1)$

Langkah 6.2.1.4

Kalikan $8$ dengan $1$ .

$f' (1) = 1 - 6 + 8$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Kurangi $6$ dengan $1$ .

$f' (1) = - 5 + 8$

Langkah 6.2.2.2

Tambahkan $- 5$ dan $8$ .

$f' (1) = 3$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $3$ .

$3$

Langkah 6.3

Pada $x = 1$ , turunannya adalah $3$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(0, 2)$ .

Meningkat pada $(0, 2)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(2, 4)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $3$ pada pernyataan tersebut.

$f' (3) = {(3)}^{3} - 6 {(3)}^{2} + 8 (3)$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$f' (3) = 27 - 6 {(3)}^{2} + 8 (3)$

Langkah 7.2.1.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (3) = 27 - 6 \cdot 9 + 8 (3)$

Langkah 7.2.1.3

Kalikan $- 6$ dengan $9$ .

$f' (3) = 27 - 54 + 8 (3)$

Langkah 7.2.1.4

Kalikan $8$ dengan $3$ .

$f' (3) = 27 - 54 + 24$

Langkah 7.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Kurangi $54$ dengan $27$ .

$f' (3) = - 27 + 24$

Langkah 7.2.2.2

Tambahkan $- 27$ dan $24$ .

$f' (3) = - 3$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 3$ .

$- 3$

Langkah 7.3

Pada $x = 3$ , turunannya adalah $- 3$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(2, 4)$ .

Menurun pada $(2, 4)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 8

Substitusikan nilai dari interval $(4, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Ganti variabel $x$ dengan $5$ pada pernyataan tersebut.

$f' (5) = {(5)}^{3} - 6 {(5)}^{2} + 8 (5)$

Langkah 8.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Naikkan $5$ menjadi pangkat $3$ .

$f' (5) = 125 - 6 {(5)}^{2} + 8 (5)$

Langkah 8.2.1.2

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (5) = 125 - 6 \cdot 25 + 8 (5)$

Langkah 8.2.1.3

Kalikan $- 6$ dengan $25$ .

$f' (5) = 125 - 150 + 8 (5)$

Langkah 8.2.1.4

Kalikan $8$ dengan $5$ .

$f' (5) = 125 - 150 + 40$

Langkah 8.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1

Kurangi $150$ dengan $125$ .

$f' (5) = - 25 + 40$

Langkah 8.2.2.2

Tambahkan $- 25$ dan $40$ .

$f' (5) = 15$

Langkah 8.2.3

Jawaban akhirnya adalah $15$ .

$15$

Langkah 8.3

Pada $x = 5$ , turunannya adalah $15$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(4, \infty)$ .

Meningkat pada $(4, \infty)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 9

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(0, 2), (4, \infty)$

Menurun pada: $(- \infty, 0), (2, 4)$

Langkah 10