Kalkulus Contoh

$f (x) = - 3 x^{2} + 54 \ln (x)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- 3 x^{2} + 54 \ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [54 \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [54 \ln (x)]$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [54 \ln (x)]$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$- 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [54 \ln (x)]$

Langkah 1.1.2.3

Kalikan $2$ dengan $- 3$ .

$- 6 x + \frac{d}{d x} [54 \ln (x)]$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [54 \ln (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $54$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $54 \ln (x)$ terhadap $x$ adalah $54 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$- 6 x + 54 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Langkah 1.1.3.2

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$- 6 x + 54 \frac{1}{x}$

Langkah 1.1.3.3

Gabungkan $54$ dan $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = - 6 x + \frac{54}{x}$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- 6 x + \frac{54}{x}$ .

$- 6 x + \frac{54}{x}$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- 6 x + \frac{54}{x} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$- 6 x + \frac{54}{x} = 0$

Langkah 2.2

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$1, x, 1$

Langkah 2.2.2

KPK dari satu dan pernyataan apa pun adalah pernyataan itu sendiri.

$x$

Langkah 2.3

Kalikan setiap suku pada $- 6 x + \frac{54}{x} = 0$ dengan $x$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Kalikan setiap suku dalam $- 6 x + \frac{54}{x} = 0$ dengan $x$ .

$- 6 x \cdot x + \frac{54}{x} x = 0 x$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1.1

Pindahkan $x$ .

$- 6 (x \cdot x) + \frac{54}{x} x = 0 x$

Langkah 2.3.2.1.1.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$- 6 x^{2} + \frac{54}{x} x = 0 x$

Langkah 2.3.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- 6 x^{2} + \frac{54}{x} x = 0 x$

Langkah 2.3.2.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- 6 x^{2} + 54 = 0 x$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Kalikan $0$ dengan $x$ .

$- 6 x^{2} + 54 = 0$

Langkah 2.4

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Kurangkan $54$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 6 x^{2} = - 54$

Langkah 2.4.2

Bagi setiap suku pada $- 6 x^{2} = - 54$ dengan $- 6$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Bagilah setiap suku di $- 6 x^{2} = - 54$ dengan $- 6$ .

$\frac{- 6 x^{2}}{- 6} = \frac{- 54}{- 6}$

Langkah 2.4.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 6 x^{2}}{- 6} = \frac{- 54}{- 6}$

Langkah 2.4.2.2.1.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} = \frac{- 54}{- 6}$

Langkah 2.4.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.3.1

Bagilah $- 54$ dengan $- 6$ .

$x^{2} = 9$

Langkah 2.4.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{9}$

Langkah 2.4.4

Sederhanakan $\pm \sqrt{9}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.4.1

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Langkah 2.4.4.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm 3$

Langkah 2.4.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = 3$

Langkah 2.4.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - 3$

Langkah 2.4.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = 3, - 3$

Langkah 3

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $3, - 3$ .

$3, - 3$

Langkah 4

Atur penyebut dalam $\frac{54}{x}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x = 0$

Langkah 5

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang menjadikan turunan $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

Langkah 6

Kecualikan interval-intervalnya yang tidak ada di dalam domainnya.

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(- 3, 0)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $- \frac{3}{2}$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- \frac{3}{2}) = - 6 (- \frac{3}{2}) + \frac{54}{- \frac{3}{2}}$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{3}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$f' (- \frac{3}{2}) = - 6 (\frac{- 3}{2}) + \frac{54}{- \frac{3}{2}}$

Langkah 7.2.1.1.2

Faktorkan $2$ dari $- 6$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 2 (- 3) (\frac{- 3}{2}) + \frac{54}{- \frac{3}{2}}$

Langkah 7.2.1.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (- \frac{3}{2}) = 2 \cdot (- 3 (\frac{- 3}{2})) + \frac{54}{- \frac{3}{2}}$

Langkah 7.2.1.1.4

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (- \frac{3}{2}) = - 3 \cdot - 3 + \frac{54}{- \frac{3}{2}}$

Langkah 7.2.1.2

Kalikan $- 3$ dengan $- 3$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 9 + \frac{54}{- \frac{3}{2}}$

Langkah 7.2.1.3

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$f' (- \frac{3}{2}) = 9 + 54 (- \frac{2}{3})$

Langkah 7.2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.4.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{2}{3}$ ke dalam pembilangnya.

$f' (- \frac{3}{2}) = 9 + 54 (\frac{- 2}{3})$

Langkah 7.2.1.4.2

Faktorkan $3$ dari $54$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 9 + 3 (18) (\frac{- 2}{3})$

Langkah 7.2.1.4.3

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (- \frac{3}{2}) = 9 + 3 \cdot (18 (\frac{- 2}{3}))$

Langkah 7.2.1.4.4

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (- \frac{3}{2}) = 9 + 18 \cdot - 2$

Langkah 7.2.1.5

Kalikan $18$ dengan $- 2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 9 - 36$

Langkah 7.2.2

Kurangi $36$ dengan $9$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - 27$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 27$ .

$- 27$

Langkah 8

Kecualikan interval-intervalnya yang tidak ada di dalam domainnya.

$(0, 3)$

Langkah 9

Substitusikan nilai dari interval $(0, 3)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{3}{2}$ pada pernyataan tersebut.

$f' (\frac{3}{2}) = - 6 (\frac{3}{2}) + \frac{54}{\frac{3}{2}}$

Langkah 9.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1.1.1

Faktorkan $2$ dari $- 6$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 2 (- 3) (\frac{3}{2}) + \frac{54}{\frac{3}{2}}$

Langkah 9.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (\frac{3}{2}) = 2 \cdot (- 3 (\frac{3}{2})) + \frac{54}{\frac{3}{2}}$

Langkah 9.2.1.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (\frac{3}{2}) = - 3 \cdot 3 + \frac{54}{\frac{3}{2}}$

Langkah 9.2.1.2

Kalikan $- 3$ dengan $3$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - 9 + \frac{54}{\frac{3}{2}}$

Langkah 9.2.1.3

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$f' (\frac{3}{2}) = - 9 + 54 (\frac{2}{3})$

Langkah 9.2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1.4.1

Faktorkan $3$ dari $54$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - 9 + 3 (18) (\frac{2}{3})$

Langkah 9.2.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (\frac{3}{2}) = - 9 + 3 \cdot (18 (\frac{2}{3}))$

Langkah 9.2.1.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (\frac{3}{2}) = - 9 + 18 \cdot 2$

Langkah 9.2.1.5

Kalikan $18$ dengan $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - 9 + 36$

Langkah 9.2.2

Tambahkan $- 9$ dan $36$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 27$

Langkah 9.2.3

Jawaban akhirnya adalah $27$ .

$27$

Langkah 9.3

Pada $x = \frac{3}{2}$ , turunannya adalah $27$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(0, 3)$ .

Meningkat pada $(0, 3)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 10

Kecualikan interval-intervalnya yang tidak ada di dalam domainnya.

$(0, 3), (3, \infty)$

Langkah 11

Substitusikan nilai dari interval $(3, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Ganti variabel $x$ dengan $4$ pada pernyataan tersebut.

$f' (4) = - 6 \cdot 4 + \frac{54}{4}$

Langkah 11.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1.1

Kalikan $- 6$ dengan $4$ .

$f' (4) = - 24 + \frac{54}{4}$

Langkah 11.2.1.2

Hapus faktor persekutuan dari $54$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $54$ .

$f' (4) = - 24 + \frac{2 (27)}{4}$

Langkah 11.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$f' (4) = - 24 + \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 2}$

Langkah 11.2.1.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (4) = - 24 + \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 2}$

Langkah 11.2.1.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (4) = - 24 + \frac{27}{2}$

Langkah 11.2.2

Untuk menuliskan $- 24$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$f' (4) = - 24 \cdot \frac{2}{2} + \frac{27}{2}$

Langkah 11.2.3

Gabungkan $- 24$ dan $\frac{2}{2}$ .

$f' (4) = \frac{- 24 \cdot 2}{2} + \frac{27}{2}$

Langkah 11.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (4) = \frac{- 24 \cdot 2 + 27}{2}$

Langkah 11.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.5.1

Kalikan $- 24$ dengan $2$ .

$f' (4) = \frac{- 48 + 27}{2}$

Langkah 11.2.5.2

Tambahkan $- 48$ dan $27$ .

$f' (4) = \frac{- 21}{2}$

Langkah 11.2.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (4) = - \frac{21}{2}$

Langkah 11.2.7

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{21}{2}$ .

$- \frac{21}{2}$

Langkah 11.3

Pada $x = 4$ , turunannya adalah $- \frac{21}{2}$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(3, \infty)$ .

Menurun pada $(3, \infty)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 12

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(0, 3)$

Menurun pada: $(3, \infty)$

Langkah 13