Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{x^{2} + 16}{x}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x^{2} + 16$ dan $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} + 16] - (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 16$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]) - (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [16]) - (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 1.1.2.3

Karena $16$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $16$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{x (2 x + 0) - (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 1.1.2.4

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$\frac{x (2 x) - (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 1.1.3

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 1.1.4

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 1.1.5

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 1.1.6

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 1.1.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 16) \cdot 1}{x^{2}}$

Langkah 1.1.8

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 16)}{x^{2}}$

Langkah 1.1.9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.9.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 16}{x^{2}}$

Langkah 1.1.9.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.9.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $16$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 16}{x^{2}}$

Langkah 1.1.9.2.2

Kurangi $x^{2}$ dengan $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 16}{x^{2}}$

Langkah 1.1.9.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.9.3.1

Tulis kembali $16$ sebagai $4^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 4^{2}}{x^{2}}$

Langkah 1.1.9.3.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = x$ dan $b = 4$ .

$f' (x) = \frac{(x + 4) (x - 4)}{x^{2}}$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{(x + 4) (x - 4)}{x^{2}}$ .

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{x^{2}}$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{(x + 4) (x - 4)}{x^{2}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{x^{2}} = 0$

Langkah 2.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$(x + 4) (x - 4) = 0$

Langkah 2.3

Selesaikan persamaan untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

Langkah 2.3.2

Atur $x + 4$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Atur $x + 4$ sama dengan $0$ .

$x + 4 = 0$

Langkah 2.3.2.2

Kurangkan $4$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 4$

Langkah 2.3.3

Atur $x - 4$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Atur $x - 4$ sama dengan $0$ .

$x - 4 = 0$

Langkah 2.3.3.2

Tambahkan $4$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 4$

Langkah 2.3.4

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x + 4) (x - 4) = 0$ benar.

$x = - 4, 4$

Langkah 3

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $- 4, 4$ .

$- 4, 4$

Langkah 4

Tentukan di mana turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Atur penyebut dalam $\frac{(x + 4) (x - 4)}{x^{2}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x^{2} = 0$

Langkah 4.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{0}$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan $\pm \sqrt{0}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Langkah 4.2.2.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm 0$

Langkah 4.2.2.3

Tambah atau kurang $0$ adalah $0$ .

$x = 0$

Langkah 5

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang menjadikan turunan $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 0) \cup (0, 4) \cup (4, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, - 4)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 5$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 5) = \frac{((- 5) + 4) ((- 5) - 4)}{{(- 5)}^{2}}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Tambahkan $- 5$ dan $4$ .

$f' (- 5) = \frac{- 1 (- 5 - 4)}{{(- 5)}^{2}}$

Langkah 6.2.1.2

Kurangi $4$ dengan $- 5$ .

$f' (- 5) = \frac{- 1 \cdot - 9}{{(- 5)}^{2}}$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Naikkan $- 5$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 5) = \frac{- 1 \cdot - 9}{25}$

Langkah 6.2.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 9$ .

$f' (- 5) = \frac{9}{25}$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $\frac{9}{25}$ .

$\frac{9}{25}$

Langkah 6.3

Pada $x = - 5$ , turunannya adalah $\frac{9}{25}$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(- \infty, - 4)$ .

Meningkat pada $(- \infty, - 4)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(- 4, 0)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 2$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 2) = \frac{((- 2) + 4) ((- 2) - 4)}{{(- 2)}^{2}}$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Tambahkan $- 2$ dan $4$ .

$f' (- 2) = \frac{2 (- 2 - 4)}{{(- 2)}^{2}}$

Langkah 7.2.1.2

Kurangi $4$ dengan $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{2 \cdot - 6}{{(- 2)}^{2}}$

Langkah 7.2.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 2) = \frac{2 \cdot - 6}{4}$

Langkah 7.2.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 6$ .

$f' (- 2) = \frac{- 12}{4}$

Langkah 7.2.2.3

Bagilah $- 12$ dengan $4$ .

$f' (- 2) = - 3$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 3$ .

$- 3$

Langkah 7.3

Pada $x = - 2$ , turunannya adalah $- 3$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- 4, 0)$ .

Menurun pada $(- 4, 0)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 8

Substitusikan nilai dari interval $(0, 4)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Ganti variabel $x$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$f' (2) = \frac{((2) + 4) ((2) - 4)}{{(2)}^{2}}$

Langkah 8.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Tambahkan $2$ dan $4$ .

$f' (2) = \frac{6 (2 - 4)}{2^{2}}$

Langkah 8.2.1.2

Kurangi $4$ dengan $2$ .

$f' (2) = \frac{6 \cdot - 2}{2^{2}}$

Langkah 8.2.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (2) = \frac{6 \cdot - 2}{4}$

Langkah 8.2.2.2

Kalikan $6$ dengan $- 2$ .

$f' (2) = \frac{- 12}{4}$

Langkah 8.2.2.3

Bagilah $- 12$ dengan $4$ .

$f' (2) = - 3$

Langkah 8.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 3$ .

$- 3$

Langkah 8.3

Pada $x = 2$ , turunannya adalah $- 3$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(0, 4)$ .

Menurun pada $(0, 4)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 9

Substitusikan nilai dari interval $(4, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Ganti variabel $x$ dengan $5$ pada pernyataan tersebut.

$f' (5) = \frac{((5) + 4) ((5) - 4)}{{(5)}^{2}}$

Langkah 9.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1.1

Tambahkan $5$ dan $4$ .

$f' (5) = \frac{9 (5 - 4)}{5^{2}}$

Langkah 9.2.1.2

Kurangi $4$ dengan $5$ .

$f' (5) = \frac{9 \cdot 1}{5^{2}}$

Langkah 9.2.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.2.1

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (5) = \frac{9 \cdot 1}{25}$

Langkah 9.2.2.2

Kalikan $9$ dengan $1$ .

$f' (5) = \frac{9}{25}$

Langkah 9.2.3

Jawaban akhirnya adalah $\frac{9}{25}$ .

$\frac{9}{25}$

Langkah 9.3

Pada $x = 5$ , turunannya adalah $\frac{9}{25}$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(4, \infty)$ .

Meningkat pada $(4, \infty)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 10

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(- \infty, - 4), (4, \infty)$

Menurun pada: $(- 4, 0), (0, 4)$

Langkah 11