Kalkulus Contoh

$2 \cos^{2} (x)$

Langkah 1

Tulis $2 \cos^{2} (x)$ sebagai fungsi.

$f (x) = 2 \cos^{2} (x)$

Langkah 2

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 \cos^{2} (x)$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = \cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\cos (x)$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 (2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Langkah 2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\cos (x)$ .

$2 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Langkah 2.3

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$4 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Langkah 2.4

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$4 \cos (x) (- \sin (x))$

Langkah 2.5

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$- 4 \cos (x) \sin (x)$

Langkah 3

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4 \cos (x) \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $- 4 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} (\cos (x) \sin (x))$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 4 (\cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Langkah 3.3

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 4 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Langkah 3.4

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = - 4 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Langkah 3.5

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = - 4 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Langkah 3.6

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = - 4 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Langkah 3.7

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f'' (x) = - 4 (\cos^{2} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Langkah 3.8

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 4 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x)))$

Langkah 3.9

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = - 4 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x)))$

Langkah 3.10

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = - 4 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x)))$

Langkah 3.11

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = - 4 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1})$

Langkah 3.12

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f'' (x) = - 4 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$

Langkah 3.13

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.13.1

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = - 4 \cos^{2} (x) - 4 (- \sin^{2} (x))$

Langkah 3.13.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 4$ .

$f'' (x) = - 4 \cos^{2} (x) + 4 \sin^{2} (x)$

Langkah 3.13.3

Tulis kembali $4 \sin^{2} (x)$ sebagai ${(2 \sin (x))}^{2}$ .

$f'' (x) = - 4 \cos^{2} (x) + {(2 \sin (x))}^{2}$

Langkah 3.13.4

Tulis kembali $4 \cos^{2} (x)$ sebagai ${(2 \cos (x))}^{2}$ .

$f'' (x) = - {(2 \cos (x))}^{2} + {(2 \sin (x))}^{2}$

Langkah 3.13.5

Susun kembali $- {(2 \cos (x))}^{2}$ dan ${(2 \sin (x))}^{2}$ .

$f'' (x) = {(2 \sin (x))}^{2} - {(2 \cos (x))}^{2}$

Langkah 3.13.6

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = 2 \sin (x)$ dan $b = 2 \cos (x)$ .

$f'' (x) = (2 \sin (x) + 2 \cos (x)) (2 \sin (x) - (2 \cos (x)))$

Langkah 3.13.7

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f'' (x) = (2 \sin (x) + 2 \cos (x)) (2 \sin (x) - 2 \cos (x))$

Langkah 3.13.8

Perluas $(2 \sin (x) + 2 \cos (x)) (2 \sin (x) - 2 \cos (x))$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.13.8.1

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = 2 \sin (x) (2 \sin (x) - 2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (2 \sin (x) - 2 \cos (x))$

Langkah 3.13.8.2

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = 2 \sin (x) (2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (2 \sin (x) - 2 \cos (x))$

Langkah 3.13.8.3

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = 2 \sin (x) (2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (2 \sin (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \cos (x))$

Langkah 3.13.9

Gabungkan suku balikan dalam $2 \sin (x) (2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (2 \sin (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \cos (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.13.9.1

Susun kembali faktor-faktor dalam suku-suku $2 \sin (x) (- 2 \cos (x))$ dan $2 \cos (x) (2 \sin (x))$ .

$f'' (x) = 2 \sin (x) (2 \sin (x)) - 2 \cdot (2 \cos (x) \sin (x)) + 2 \cdot (2 \cos (x) \sin (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \cos (x))$

Langkah 3.13.9.2

Tambahkan $- 2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x)$ dan $2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x)$ .

$f'' (x) = 2 \sin (x) (2 \sin (x)) + 0 + 2 \cos (x) (- 2 \cos (x))$

Langkah 3.13.9.3

Tambahkan $2 \sin (x) (2 \sin (x))$ dan $0$ .

$f'' (x) = 2 \sin (x) (2 \sin (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \cos (x))$

Langkah 3.13.10

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.13.10.1

Kalikan $2 \sin (x) (2 \sin (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.13.10.1.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$f'' (x) = 4 \sin (x) \sin (x) + 2 \cos (x) (- 2 \cos (x))$

Langkah 3.13.10.1.2

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = 4 (\sin (x) \sin (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \cos (x))$

Langkah 3.13.10.1.3

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = 4 (\sin (x) \sin (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \cos (x))$

Langkah 3.13.10.1.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = 4 {\sin (x)}^{1 + 1} + 2 \cos (x) (- 2 \cos (x))$

Langkah 3.13.10.1.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f'' (x) = 4 \sin^{2} (x) + 2 \cos (x) (- 2 \cos (x))$

Langkah 3.13.10.2

Kalikan $2 \cos (x) (- 2 \cos (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.13.10.2.1

Kalikan $- 2$ dengan $2$ .

$f'' (x) = 4 \sin^{2} (x) - 4 \cos (x) \cos (x)$

Langkah 3.13.10.2.2

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = 4 \sin^{2} (x) - 4 (\cos (x) \cos (x))$

Langkah 3.13.10.2.3

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = 4 \sin^{2} (x) - 4 (\cos (x) \cos (x))$

Langkah 3.13.10.2.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = 4 \sin^{2} (x) - 4 {\cos (x)}^{1 + 1}$

Langkah 3.13.10.2.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f'' (x) = 4 \sin^{2} (x) - 4 \cos^{2} (x)$

Langkah 4

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$- 4 \cos (x) \sin (x) = 0$

Langkah 5

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$\cos (x) = 0$

$\sin (x) = 0$

Langkah 6

Atur $\cos (x)$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Atur $\cos (x)$ sama dengan $0$ .

$\cos (x) = 0$

Langkah 6.2

Selesaikan $\cos (x) = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$x = \arccos (0)$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Nilai eksak dari $\arccos (0)$ adalah $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Langkah 6.2.3

Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Langkah 6.2.4

Sederhanakan $2 π - \frac{π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.4.1

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 6.2.4.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.4.2.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 6.2.4.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Langkah 6.2.4.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.4.3.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Langkah 6.2.4.3.2

Kurangi $π$ dengan $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Langkah 6.2.5

Penyelesaian untuk persamaan $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Langkah 7

Atur $\sin (x)$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Atur $\sin (x)$ sama dengan $0$ .

$\sin (x) = 0$

Langkah 7.2

Selesaikan $\sin (x) = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$x = \arcsin (0)$

Langkah 7.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Nilai eksak dari $\arcsin (0)$ adalah $0$ .

$x = 0$

Langkah 7.2.3

Fungsi sinus positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $π$ untuk menemukan penyelesaian di kuadran kedua.

$x = π - 0$

Langkah 7.2.4

Kurangi $0$ dengan $π$ .

$x = π$

Langkah 7.2.5

Penyelesaian untuk persamaan $x = 0$ .

$x = 0, π$

Langkah 8

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $- 4 \cos (x) \sin (x) = 0$ benar.

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}, 0, π$

Langkah 9

Evaluasi turunan kedua pada $x = \frac{π}{2}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$4 \sin^{2} (\frac{π}{2}) - 4 \cos^{2} (\frac{π}{2})$

Langkah 10

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$4 \cdot 1^{2} - 4 \cos^{2} (\frac{π}{2})$

Langkah 10.1.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$4 \cdot 1 - 4 \cos^{2} (\frac{π}{2})$

Langkah 10.1.3

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$4 - 4 \cos^{2} (\frac{π}{2})$

Langkah 10.1.4

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{2})$ adalah $0$ .

$4 - 4 \cdot 0^{2}$

Langkah 10.1.5

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$4 - 4 \cdot 0$

Langkah 10.1.6

Kalikan $- 4$ dengan $0$ .

$4 + 0$

Langkah 10.2

Tambahkan $4$ dan $0$ .

$4$

Langkah 11

$x = \frac{π}{2}$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = \frac{π}{2}$ adalah minimum lokal

Langkah 12

Tentukan nilai y ketika $x = \frac{π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{π}{2}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cos^{2} (\frac{π}{2})$

Langkah 12.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{2})$ adalah $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cdot 0^{2}$

Langkah 12.2.2

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cdot 0$

Langkah 12.2.3

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 0$

Langkah 12.2.4

Jawaban akhirnya adalah $0$ .

$y = 0$

Langkah 13

Evaluasi turunan kedua pada $x = \frac{3 π}{2}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$4 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) - 4 \cos^{2} (\frac{3 π}{2})$

Langkah 14

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran keempat.

$4 {(- \sin (\frac{π}{2}))}^{2} - 4 \cos^{2} (\frac{3 π}{2})$

Langkah 14.1.2

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$4 {(- 1 \cdot 1)}^{2} - 4 \cos^{2} (\frac{3 π}{2})$

Langkah 14.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$4 {(- 1)}^{2} - 4 \cos^{2} (\frac{3 π}{2})$

Langkah 14.1.4

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$4 \cdot 1 - 4 \cos^{2} (\frac{3 π}{2})$

Langkah 14.1.5

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$4 - 4 \cos^{2} (\frac{3 π}{2})$

Langkah 14.1.6

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$4 - 4 \cos^{2} (\frac{π}{2})$

Langkah 14.1.7

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{2})$ adalah $0$ .

$4 - 4 \cdot 0^{2}$

Langkah 14.1.8

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$4 - 4 \cdot 0$

Langkah 14.1.9

Kalikan $- 4$ dengan $0$ .

$4 + 0$

Langkah 14.2

Tambahkan $4$ dan $0$ .

$4$

Langkah 15

$x = \frac{3 π}{2}$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = \frac{3 π}{2}$ adalah minimum lokal

Langkah 16

Tentukan nilai y ketika $x = \frac{3 π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{3 π}{2}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 \cos^{2} (\frac{3 π}{2})$

Langkah 16.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.2.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 \cos^{2} (\frac{π}{2})$

Langkah 16.2.2

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{2})$ adalah $0$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 \cdot 0^{2}$

Langkah 16.2.3

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 \cdot 0$

Langkah 16.2.4

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 0$

Langkah 16.2.5

Jawaban akhirnya adalah $0$ .

$y = 0$

Langkah 17

Evaluasi turunan kedua pada $x = 0$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$4 \sin^{2} (0) - 4 \cos^{2} (0)$

Langkah 18

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.1.1

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$4 \cdot 0^{2} - 4 \cos^{2} (0)$

Langkah 18.1.2

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$4 \cdot 0 - 4 \cos^{2} (0)$

Langkah 18.1.3

Kalikan $4$ dengan $0$ .

$0 - 4 \cos^{2} (0)$

Langkah 18.1.4

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$0 - 4 \cdot 1^{2}$

Langkah 18.1.5

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$0 - 4 \cdot 1$

Langkah 18.1.6

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$0 - 4$

Langkah 18.2

Kurangi $4$ dengan $0$ .

$- 4$

Langkah 19

$x = 0$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = 0$ adalah maksimum lokal

Langkah 20

Tentukan nilai y ketika $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f (0) = 2 \cos^{2} (0)$

Langkah 20.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.2.1

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$f (0) = 2 \cdot 1^{2}$

Langkah 20.2.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f (0) = 2 \cdot 1$

Langkah 20.2.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f (0) = 2$

Langkah 20.2.4

Jawaban akhirnya adalah $2$ .

$y = 2$

Langkah 21

Evaluasi turunan kedua pada $x = π$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$4 \sin^{2} (π) - 4 \cos^{2} (π)$

Langkah 22

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.1.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$4 \sin^{2} (0) - 4 \cos^{2} (π)$

Langkah 22.1.2

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$4 \cdot 0^{2} - 4 \cos^{2} (π)$

Langkah 22.1.3

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$4 \cdot 0 - 4 \cos^{2} (π)$

Langkah 22.1.4

Kalikan $4$ dengan $0$ .

$0 - 4 \cos^{2} (π)$

Langkah 22.1.5

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$0 - 4 {(- \cos (0))}^{2}$

Langkah 22.1.6

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$0 - 4 {(- 1 \cdot 1)}^{2}$

Langkah 22.1.7

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$0 - 4 {(- 1)}^{2}$

Langkah 22.1.8

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$0 - 4 \cdot 1$

Langkah 22.1.9

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$0 - 4$

Langkah 22.2

Kurangi $4$ dengan $0$ .

$- 4$

Langkah 23

$x = π$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = π$ adalah maksimum lokal

Langkah 24

Tentukan nilai y ketika $x = π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 24.1

Ganti variabel $x$ dengan $π$ pada pernyataan tersebut.

$f (π) = 2 \cos^{2} (π)$

Langkah 24.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 24.2.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$f (π) = 2 {(- \cos (0))}^{2}$

Langkah 24.2.2

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$f (π) = 2 {(- 1 \cdot 1)}^{2}$

Langkah 24.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f (π) = 2 {(- 1)}^{2}$

Langkah 24.2.4

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$f (π) = 2 \cdot 1$

Langkah 24.2.5

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f (π) = 2$

Langkah 24.2.6

Jawaban akhirnya adalah $2$ .

$y = 2$

Langkah 25

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = 2 \cos^{2} (x)$ .

$(\frac{π}{2}, 0)$ adalah minimum lokal

$(\frac{3 π}{2}, 0)$ adalah minimum lokal

$(0, 2)$ adalah maksimum lokal

$(π, 2)$ adalah maksimum lokal

Langkah 26