Kalkulus Contoh

$\frac{4 e^{x} + 4 e^{- x}}{2}$

Langkah 1

Tulis $\frac{4 e^{x} + 4 e^{- x}}{2}$ sebagai fungsi.

$f (x) = \frac{4 e^{x} + 4 e^{- x}}{2}$

Langkah 2

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Hapus faktor persekutuan dari $4 e^{x} + 4 e^{- x}$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Faktorkan $2$ dari $4 e^{x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 e^{x}) + 4 e^{- x}}{2}]$

Langkah 2.1.1.2

Faktorkan $2$ dari $4 e^{- x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 e^{x}) + 2 (2 e^{- x})}{2}]$

Langkah 2.1.1.3

Faktorkan $2$ dari $2 (2 e^{x}) + 2 (2 e^{- x})$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 e^{x} + 2 e^{- x})}{2}]$

Langkah 2.1.1.4

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.4.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 e^{x} + 2 e^{- x})}{2 (1)}]$

Langkah 2.1.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 e^{x} + 2 e^{- x})}{2 \cdot 1}]$

Langkah 2.1.1.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x} + 2 e^{- x}}{1}]$

Langkah 2.1.1.4.4

Bagilah $2 e^{x} + 2 e^{- x}$ dengan $1$ .

$\frac{d}{d x} [2 e^{x} + 2 e^{- x}]$

Langkah 2.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 e^{x} + 2 e^{- x}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Langkah 2.1.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 e^{x}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$2 e^{x} + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Langkah 2.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 e^{- x}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$2 e^{x} + 2 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $- x$ .

$2 e^{x} + 2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Langkah 2.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$2 e^{x} + 2 (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Langkah 2.4.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- x$ .

$2 e^{x} + 2 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Langkah 2.5

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 e^{x} + 2 e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.5.2

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$2 e^{x} - 2 e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.5.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 e^{x} - 2 e^{- x} \cdot 1$

Langkah 2.5.4

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$2 e^{x} - 2 e^{- x}$

Langkah 3

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 e^{x} - 2 e^{- x}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{- x})$

Langkah 3.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 e^{x}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{- x})$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} + \frac{d}{d x} (- 2 e^{- x})$

Langkah 3.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 e^{- x}$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} - 2 \frac{d}{d x} e^{- x}$

Langkah 3.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $- x$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} - 2 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x))$

Langkah 3.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} - 2 (e^{u} \frac{d}{d x} (- x))$

Langkah 3.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- x$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} - 2 (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x))$

Langkah 3.3.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} - 2 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x))$

Langkah 3.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} - 2 (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Langkah 3.3.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} - 2 (e^{- x} \cdot - 1)$

Langkah 3.3.6

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $e^{- x}$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} - 2 (- 1 \cdot e^{- x})$

Langkah 3.3.7

Tulis kembali $- 1 e^{- x}$ sebagai $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} - 2 (- e^{- x})$

Langkah 3.3.8

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} + 2 e^{- x}$

Langkah 4

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$2 e^{x} - 2 e^{- x} = 0$

Langkah 5

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.1

Hapus faktor persekutuan dari $4 e^{x} + 4 e^{- x}$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.1.1

Faktorkan $2$ dari $4 e^{x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 e^{x}) + 4 e^{- x}}{2}]$

Langkah 5.1.1.1.2

Faktorkan $2$ dari $4 e^{- x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 e^{x}) + 2 (2 e^{- x})}{2}]$

Langkah 5.1.1.1.3

Faktorkan $2$ dari $2 (2 e^{x}) + 2 (2 e^{- x})$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 e^{x} + 2 e^{- x})}{2}]$

Langkah 5.1.1.1.4

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.1.4.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 e^{x} + 2 e^{- x})}{2 (1)}]$

Langkah 5.1.1.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 e^{x} + 2 e^{- x})}{2 \cdot 1}]$

Langkah 5.1.1.1.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x} + 2 e^{- x}}{1}]$

Langkah 5.1.1.1.4.4

Bagilah $2 e^{x} + 2 e^{- x}$ dengan $1$ .

$\frac{d}{d x} [2 e^{x} + 2 e^{- x}]$

Langkah 5.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 e^{x} + 2 e^{- x}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Langkah 5.1.1.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 e^{x}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Langkah 5.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$2 e^{x} + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Langkah 5.1.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 e^{- x}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$2 e^{x} + 2 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Langkah 5.1.4

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.4.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $- x$ .

$2 e^{x} + 2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Langkah 5.1.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$2 e^{x} + 2 (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Langkah 5.1.4.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- x$ .

$2 e^{x} + 2 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Langkah 5.1.5

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.5.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 e^{x} + 2 e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 5.1.5.2

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$2 e^{x} - 2 e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 5.1.5.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 e^{x} - 2 e^{- x} \cdot 1$

Langkah 5.1.5.4

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$f' (x) = 2 e^{x} - 2 e^{- x}$

Langkah 5.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $2 e^{x} - 2 e^{- x}$ .

$2 e^{x} - 2 e^{- x}$

Langkah 6

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $2 e^{x} - 2 e^{- x} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$2 e^{x} - 2 e^{- x} = 0$

Langkah 6.2

Pindahkan $- 2 e^{- x}$ ke sisi kanan persamaan dengan menambahkannya ke kedua sisinya.

$2 e^{x} = 2 e^{- x}$

Langkah 6.3

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (2 e^{x}) = \ln (2 e^{- x})$

Langkah 6.4

Perluas sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Tulis kembali $\ln (2 e^{x})$ sebagai $\ln (2) + \ln (e^{x})$ .

$\ln (2) + \ln (e^{x}) = \ln (2 e^{- x})$

Langkah 6.4.2

Perluas $\ln (e^{x})$ dengan memindahkan $x$ ke luar logaritma.

$\ln (2) + x \ln (e) = \ln (2 e^{- x})$

Langkah 6.4.3

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$\ln (2) + x \cdot 1 = \ln (2 e^{- x})$

Langkah 6.4.4

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$\ln (2) + x = \ln (2 e^{- x})$

Langkah 6.5

Perluas sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1

Tulis kembali $\ln (2 e^{- x})$ sebagai $\ln (2) + \ln (e^{- x})$ .

$\ln (2) + x = \ln (2) + \ln (e^{- x})$

Langkah 6.5.2

Perluas $\ln (e^{- x})$ dengan memindahkan $- x$ ke luar logaritma.

$\ln (2) + x = \ln (2) - x \ln (e)$

Langkah 6.5.3

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$\ln (2) + x = \ln (2) - x \cdot 1$

Langkah 6.5.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\ln (2) + x = \ln (2) - x$

Langkah 6.6

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (2) - \ln (2) = - x - x$

Langkah 6.7

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{2}{2}) = - x - x$

Langkah 6.8

Bagilah $2$ dengan $2$ .

$\ln (1) = - x - x$

Langkah 6.9

Log alami dari $1$ adalah $0$ .

$0 = - x - x$

Langkah 6.10

Kurangi $x$ dengan $- x$ .

$0 = - 2 x$

Langkah 6.11

Karena $x$ ada di sisi kanan persamaan, tukar sisinya sehingga berada di sisi kiri persamaan.

$- 2 x = 0$

Langkah 6.12

Bagi setiap suku pada $- 2 x = 0$ dengan $- 2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.12.1

Bagilah setiap suku di $- 2 x = 0$ dengan $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Langkah 6.12.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.12.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.12.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Langkah 6.12.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{0}{- 2}$

Langkah 6.12.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.12.3.1

Bagilah $0$ dengan $- 2$ .

$x = 0$

Langkah 7

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 8

Titik kritis untuk dievaluasi.

$x = 0$

Langkah 9

Evaluasi turunan kedua pada $x = 0$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$2 e^{0} + 2 e^{- (0)}$

Langkah 10

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$2 \cdot 1 + 2 e^{- (0)}$

Langkah 10.1.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 + 2 e^{- (0)}$

Langkah 10.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$2 + 2 e^{0}$

Langkah 10.1.4

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$2 + 2 \cdot 1$

Langkah 10.1.5

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 + 2$

Langkah 10.2

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$4$

Langkah 11

$x = 0$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = 0$ adalah minimum lokal

Langkah 12

Tentukan nilai y ketika $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f (0) = \frac{4 e^{0} + 4 e^{- (0)}}{2}$

Langkah 12.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Hapus faktor persekutuan dari $4 e^{0} + 4 e^{- (0)}$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1.1

Faktorkan $2$ dari $4 e^{0}$ .

$f (0) = \frac{2 (2 e^{0}) + 4 e^{- (0)}}{2}$

Langkah 12.2.1.2

Faktorkan $2$ dari $4 e^{- (0)}$ .

$f (0) = \frac{2 (2 e^{0}) + 2 (2 e^{- (0)})}{2}$

Langkah 12.2.1.3

Faktorkan $2$ dari $2 (2 e^{0}) + 2 (2 e^{- (0)})$ .

$f (0) = \frac{2 (2 e^{0} + 2 e^{- (0)})}{2}$

Langkah 12.2.1.4

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1.4.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$f (0) = \frac{2 (2 e^{0} + 2 e^{- (0)})}{2 (1)}$

Langkah 12.2.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (0) = \frac{2 (2 e^{0} + 2 e^{- (0)})}{2 \cdot 1}$

Langkah 12.2.1.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (0) = \frac{2 e^{0} + 2 e^{- (0)}}{1}$

Langkah 12.2.1.4.4

Bagilah $2 e^{0} + 2 e^{- (0)}$ dengan $1$ .

$f (0) = 2 e^{0} + 2 e^{- (0)}$

Langkah 12.2.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.2.1

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$f (0) = 2 \cdot 1 + 2 e^{- (0)}$

Langkah 12.2.2.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f (0) = 2 + 2 e^{- (0)}$

Langkah 12.2.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$f (0) = 2 + 2 e^{0}$

Langkah 12.2.2.4

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$f (0) = 2 + 2 \cdot 1$

Langkah 12.2.2.5

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f (0) = 2 + 2$

Langkah 12.2.3

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$f (0) = 4$

Langkah 12.2.4

Jawaban akhirnya adalah $4$ .

$y = 4$

Langkah 13

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = \frac{4 e^{x} + 4 e^{- x}}{2}$ .

$(0, 4)$ adalah minimum lokal

Langkah 14