Kalkulus Contoh

$f (x, y) = x + \frac{4}{x} - y - \frac{9}{y} + 10$

Langkah 1

Tulis $f (x, y) - x - \frac{4}{x} + y + \frac{9}{y} - 10 = 0$ sebagai fungsi.

$f (x) = f (x, y) - x - \frac{4}{x} + y + \frac{9}{y} - 10$

Langkah 2

Pindahkan semua pernyataan ke sisi kiri dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kurangkan $x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$f (x, y) - x = \frac{4}{x} - y - \frac{9}{y} + 10$

Langkah 2.2

Kurangkan $\frac{4}{x}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$f (x, y) - x - \frac{4}{x} = - y - \frac{9}{y} + 10$

Langkah 2.3

Tambahkan $y$ ke kedua sisi persamaan.

$f (x, y) - x - \frac{4}{x} + y = - \frac{9}{y} + 10$

Langkah 2.4

Tambahkan $\frac{9}{y}$ ke kedua sisi persamaan.

$f (x, y) - x - \frac{4}{x} + y + \frac{9}{y} = 10$

Langkah 2.5

Kurangkan $10$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$f (x, y) - x - \frac{4}{x} + y + \frac{9}{y} - 10 = 0$

Langkah 3

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $f (x, y) - x - \frac{4}{x} + y + \frac{9}{y} - 10$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$ .

$\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Langkah 3.2

Kalikan $f$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Langkah 3.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Langkah 3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Langkah 3.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Langkah 3.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{4}{x}$ terhadap $x$ adalah $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 - 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Langkah 3.4.2

Tulis kembali $\frac{1}{x}$ sebagai $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 - 4 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Langkah 3.4.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 - 4 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Langkah 3.4.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 4$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + 4 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Langkah 3.5

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + 4 x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Langkah 3.5.2

Karena $\frac{9}{y}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{9}{y}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + 4 x^{- 2} + 0 + 0 + \frac{d}{d x} [- 10]$

Langkah 3.5.3

Karena $- 10$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 10$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + 4 x^{- 2} + 0 + 0 + 0$

Langkah 3.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + 4 \frac{1}{x^{2}} + 0 + 0 + 0$

Langkah 3.6.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.2.1

Gabungkan $4$ dan $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + \frac{4}{x^{2}} + 0 + 0 + 0$

Langkah 3.6.2.2

Tambahkan $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + \frac{4}{x^{2}}$ dan $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + \frac{4}{x^{2}} + 0 + 0$

Langkah 3.6.2.3

Tambahkan $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + \frac{4}{x^{2}}$ dan $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + \frac{4}{x^{2}} + 0$

Langkah 3.6.2.4

Tambahkan $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + \frac{4}{x^{2}}$ dan $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + \frac{4}{x^{2}}$

Langkah 3.6.3

Susun kembali suku-suku.

$\frac{4}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1$

Langkah 4

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{4}{x^{2}} + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) - 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} ((f x, f y))] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{4}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Langkah 4.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{2}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{4}{x^{2}}$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Langkah 4.2.2

Tulis kembali $\frac{1}{x^{2}}$ sebagai ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} ({(x^{2})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Langkah 4.2.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 1}$ dan $g (x) = x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Langkah 4.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$f'' (x) = 4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Langkah 4.2.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2}$ .

$f'' (x) = 4 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Langkah 4.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f'' (x) = 4 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Langkah 4.2.5

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.5.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 4 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Langkah 4.2.5.2

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$f'' (x) = 4 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Langkah 4.2.6

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f'' (x) = 4 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Langkah 4.2.7

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = 4 (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Langkah 4.2.8

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = 4 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Langkah 4.2.9

Kurangi $4$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 4 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Langkah 4.2.10

Kalikan $- 2$ dengan $4$ .

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Langkah 4.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} ((f x, f y))]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $d$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot (f x, f y)) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Langkah 4.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x} \cdot (f x, f y)) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Langkah 4.3.2

Kalikan $\frac{1}{x}$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (f x), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Langkah 4.3.3

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1.1

Faktorkan $x$ dari $f x$ .

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (x f), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Langkah 4.3.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (x f), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Langkah 4.3.3.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} ((f, \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Langkah 4.3.3.2

Kalikan $\frac{1}{x} (f y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.2.1

Gabungkan $f$ dan $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f}{x} \cdot y)) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Langkah 4.3.3.2.2

Gabungkan $\frac{f}{x}$ dan $y$ .

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Langkah 4.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + 0$

Langkah 4.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{1}{x^{3}} + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + 0$

Langkah 4.5.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.2.1

Gabungkan $- 8$ dan $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 8}{x^{3}} + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + 0$

Langkah 4.5.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (x) = - \frac{8}{x^{3}} + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + 0$

Langkah 4.5.2.3

Tambahkan $- \frac{8}{x^{3}} + \frac{d}{d x} [(f, \frac{f y}{x})]$ dan $0$ .

$f'' (x) = - \frac{8}{x^{3}} + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x}))$

Langkah 5

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$\frac{4}{x^{2}} + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) - 1 = 0$

Langkah 6

Karena tidak ada nilai dari $x$ yang membuat turunan pertama sama dengan $0$ , maka tidak ada ekstrem lokal.

Tidak Ada Ekstrem Lokal

Langkah 7

Tidak Ada Ekstrem Lokal

Langkah 8