Kalkulus Contoh

$f (x, y) = x y + y - 16 x$

Langkah 1

Tulis $f (x, y) - x y - y + 16 x = 0$ sebagai fungsi.

$f (x) = f (x, y) - x y - y + 16 x$

Langkah 2

Pindahkan semua pernyataan ke sisi kiri dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kurangkan $x y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$f (x, y) - x y = y - 16 x$

Langkah 2.2

Kurangkan $y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$f (x, y) - x y - y = - 16 x$

Langkah 2.3

Tambahkan $16 x$ ke kedua sisi persamaan.

$f (x, y) - x y - y + 16 x = 0$

Langkah 3

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $f (x, y) - x y - y + 16 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$ .

$\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Langkah 3.2

Kalikan $f$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Langkah 3.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena $- y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x y$ terhadap $x$ adalah $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Langkah 3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Langkah 3.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Langkah 3.4

Karena $- y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- y$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + \frac{d}{d x} [16 x]$

Langkah 3.5

Evaluasi $\frac{d}{d x} [16 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Karena $16$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $16 x$ terhadap $x$ adalah $16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + 16 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.5.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + 16 \cdot 1$

Langkah 3.5.3

Kalikan $16$ dengan $1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + 16$

Langkah 3.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Tambahkan $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y$ dan $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 16$

Langkah 3.6.2

Susun kembali suku-suku.

$- y + \frac{d}{d x} [(f x, f y)] + 16$

Langkah 4

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 16$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} ((f x, f y))] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- y) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (16)$

Langkah 4.1.2

Karena $- y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- y$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (16)$

Langkah 4.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} ((f x, f y))]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $d$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot (f x, f y)) + \frac{d}{d x} (16)$

Langkah 4.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x} \cdot (f x, f y)) + \frac{d}{d x} (16)$

Langkah 4.2.2

Kalikan $\frac{1}{x}$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (f x), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (16)$

Langkah 4.2.3

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.1.1

Faktorkan $x$ dari $f x$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (x f), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (16)$

Langkah 4.2.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (x f), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (16)$

Langkah 4.2.3.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (16)$

Langkah 4.2.3.2

Kalikan $\frac{1}{x} (f y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.2.1

Gabungkan $f$ dan $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f}{x} \cdot y)) + \frac{d}{d x} (16)$

Langkah 4.2.3.2.2

Gabungkan $\frac{f}{x}$ dan $y$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + \frac{d}{d x} (16)$

Langkah 4.3

Karena $16$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $16$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + 0$

Langkah 4.4

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [(f, \frac{f y}{x})]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + 0$

Langkah 4.4.2

Tambahkan $\frac{d}{d x} [(f, \frac{f y}{x})]$ dan $0$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x}))$

Langkah 5

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$- y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 16 = 0$

Langkah 6

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $f (x, y) - x y - y + 16 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$ .

$\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Langkah 6.1.2

Kalikan $f$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Langkah 6.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.3.1

Karena $- y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x y$ terhadap $x$ adalah $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Langkah 6.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Langkah 6.1.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Langkah 6.1.4

Karena $- y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- y$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + \frac{d}{d x} [16 x]$

Langkah 6.1.5

Evaluasi $\frac{d}{d x} [16 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.5.1

Karena $16$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $16 x$ terhadap $x$ adalah $16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + 16 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 6.1.5.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + 16 \cdot 1$

Langkah 6.1.5.3

Kalikan $16$ dengan $1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + 16$

Langkah 6.1.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.6.1

Tambahkan $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y$ dan $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 16$

Langkah 6.1.6.2

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = - y + \frac{d}{d x} [(f x, f y)] + 16$

Langkah 6.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 16$ .

$- y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 16$

Langkah 7

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 16 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$- y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 16 = 0$

Langkah 7.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $d$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- y + \frac{d}{d x} \cdot (f x, f y) + 16 = 0$

Langkah 7.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- y + \frac{1}{x} \cdot (f x, f y) + 16 = 0$

Langkah 7.2.2

Kalikan $\frac{1}{x}$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

$- y + (\frac{1}{x} (f x), \frac{1}{x} (f y)) + 16 = 0$

Langkah 7.2.3

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.1.1

Faktorkan $x$ dari $f x$ .

$- y + (\frac{1}{x} (x f), \frac{1}{x} (f y)) + 16 = 0$

Langkah 7.2.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- y + (\frac{1}{x} (x f), \frac{1}{x} (f y)) + 16 = 0$

Langkah 7.2.3.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- y + (f, \frac{1}{x} (f y)) + 16 = 0$

Langkah 7.2.3.2

Kalikan $\frac{1}{x} (f y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.2.1

Gabungkan $f$ dan $\frac{1}{x}$ .

$- y + (f, \frac{f}{x} y) + 16 = 0$

Langkah 7.2.3.2.2

Gabungkan $\frac{f}{x}$ dan $y$ .

$- y + (f, \frac{f y}{x}) + 16 = 0$

Langkah 7.3

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $x$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Tambahkan $y$ ke kedua sisi persamaan.

$(f, \frac{f y}{x}) + 16 = y$

Langkah 7.3.2

Kurangkan $16$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$(f, \frac{f y}{x}) = y - 16$

Langkah 8

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Atur penyebut dalam $\frac{d}{d x}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$d x = 0$

Langkah 8.2

Bagi setiap suku pada $d x = 0$ dengan $x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Bagilah setiap suku di $d x = 0$ dengan $x$ .

$\frac{d x}{x} = \frac{0}{x}$

Langkah 8.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d x}{x} = \frac{0}{x}$

Langkah 8.2.2.1.2

Bagilah $d$ dengan $1$ .

$d = \frac{0}{x}$

Langkah 8.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.3.1

Bagilah $0$ dengan $x$ .

$d = 0$

Langkah 8.3

Persamaan tidak terdefinisi di mana penyebutnya sama dengan $0$ , argumen dari akar kuadratnya lebih kecil dari $0$ , atau argumen dari logaritmanya lebih kecil dari atau sama dengan $0$ .

$y = 0$

Langkah 9

Titik kritis untuk dievaluasi.

$x = 0$

Langkah 10

Evaluasi turunan kedua pada $x = 0$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$\frac{d}{d (0)} ((f, \frac{f y}{0}))$

Langkah 11

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Kalikan $d$ dengan $0$ .

$\frac{d}{0} (f, \frac{f y}{0})$

Langkah 11.2

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 12

Karena uji turunan pertama tidak berhasil, maka tidak ada ekstrem lokal.

Tidak Ada Ekstrem Lokal

Langkah 13