Kalkulus Contoh

$lim_{x \to \infty} x \sin (\frac{1}{x})$

Langkah 1

Tulis kembali $x \sin (\frac{1}{x})$ sebagai $\frac{\sin (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sin (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}$

Langkah 2

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to \infty} \sin (\frac{1}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Langkah 2.1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sinus kontinu.

$\frac{\sin (lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Langkah 2.1.2.2

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{x}$ mendekati $0$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Langkah 2.1.2.3

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Langkah 2.1.3

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{x}$ mendekati $0$ .

$\frac{0}{0}$

Langkah 2.1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 2.2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sin (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (\frac{1}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Langkah 2.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (\frac{1}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = \frac{1}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Langkah 2.3.2.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Langkah 2.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Langkah 2.3.3

Tulis kembali $\frac{1}{x}$ sebagai $x^{- 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{- 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Langkah 2.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{1}{x}) (- x^{- 2})}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Langkah 2.3.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{1}{x}) (- \frac{1}{x^{2}})}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Langkah 2.3.5.2

Gabungkan $\cos (\frac{1}{x})$ dan $\frac{1}{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{\cos (\frac{1}{x})}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Langkah 2.3.6

Tulis kembali $\frac{1}{x}$ sebagai $x^{- 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{\cos (\frac{1}{x})}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}$

Langkah 2.3.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{\cos (\frac{1}{x})}{x^{2}}}{- x^{- 2}}$

Langkah 2.3.8

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{\cos (\frac{1}{x})}{x^{2}}}{- \frac{1}{x^{2}}}$

Langkah 2.4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$lim_{x \to \infty} - \frac{\cos (\frac{1}{x})}{x^{2}} (- x^{2})$

Langkah 2.5

Gabungkan faktor-faktor.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} 1 \frac{\cos (\frac{1}{x})}{x^{2}} x^{2}$

Langkah 2.5.2

Kalikan $\frac{\cos (\frac{1}{x})}{x^{2}}$ dengan $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{1}{x})}{x^{2}} x^{2}$

Langkah 2.5.3

Gabungkan $\frac{\cos (\frac{1}{x})}{x^{2}}$ dan $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{1}{x}) x^{2}}{x^{2}}$

Langkah 2.6

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{1}{x}) x^{2}}{x^{2}}$

Langkah 2.6.2

Bagilah $\cos (\frac{1}{x})$ dengan $1$ .

$lim_{x \to \infty} \cos (\frac{1}{x})$

Langkah 3

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena kosinus kontinu.

$\cos (lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})$

Langkah 4

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{x}$ mendekati $0$ .

$\cos (0)$

Langkah 5

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$1$