Kalkulus Contoh

$f (x) = 2 + \ln (x^{5})$ ; $x = e$

Langkah 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = e$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Substitusikan $e$ ke dalam $x$ .

$y = 2 + \ln ({(e)}^{5})$

Langkah 1.2

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = 2 + \ln (e^{5})$

Langkah 1.2.2

Hilangkan tanda kurung.

$y = 2 + \ln ({(e)}^{5})$

Langkah 1.2.3

Sederhanakan $2 + \ln ({(e)}^{5})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1.1

Gunakan aturan logaritma untuk memindahkan $5$ keluar dari eksponen.

$y = 2 + 5 \ln (e)$

Langkah 1.2.3.1.2

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$y = 2 + 5 \cdot 1$

Langkah 1.2.3.1.3

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$y = 2 + 5$

Langkah 1.2.3.2

Tambahkan $2$ dan $5$ .

$y = 7$

Langkah 2

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = e$ dan $y = 7$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 + \ln (x^{5})$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{5})]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{5})]$

Langkah 2.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\ln (x^{5})]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\ln (x^{5})]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = x^{5}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{5}$ .

$0 + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Langkah 2.2.1.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$0 + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Langkah 2.2.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{5}$ .

$0 + \frac{1}{x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 5$ .

$0 + \frac{1}{x^{5}} (5 x^{4})$

Langkah 2.2.3

Gabungkan $5$ dan $\frac{1}{x^{5}}$ .

$0 + \frac{5}{x^{5}} x^{4}$

Langkah 2.2.4

Gabungkan $\frac{5}{x^{5}}$ dan $x^{4}$ .

$0 + \frac{5 x^{4}}{x^{5}}$

Langkah 2.2.5

Hapus faktor persekutuan dari $x^{4}$ dan $x^{5}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.1

Faktorkan $x^{4}$ dari $5 x^{4}$ .

$0 + \frac{x^{4} \cdot 5}{x^{5}}$

Langkah 2.2.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.2.1

Faktorkan $x^{4}$ dari $x^{5}$ .

$0 + \frac{x^{4} \cdot 5}{x^{4} x}$

Langkah 2.2.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$0 + \frac{x^{4} \cdot 5}{x^{4} x}$

Langkah 2.2.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$0 + \frac{5}{x}$

Langkah 2.3

Tambahkan $0$ dan $\frac{5}{x}$ .

$\frac{5}{x}$

Langkah 2.4

Evaluasi turunan pada $x = e$ .

$\frac{5}{e}$

Langkah 3

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gunakan gradien $\frac{5}{e}$ dan titik yang diberikan $(e, 7)$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (7) = \frac{5}{e} \cdot (x - (e))$

Langkah 3.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y - 7 = \frac{5}{e} \cdot (x - e)$

Langkah 3.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Sederhanakan $\frac{5}{e} \cdot (x - e)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1

Tulis kembali.

$y - 7 = 0 + 0 + \frac{5}{e} \cdot (x - e)$

Langkah 3.3.1.2

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

$y - 7 = \frac{5}{e} \cdot (x - e)$

Langkah 3.3.1.3

Terapkan sifat distributif.

$y - 7 = \frac{5}{e} x + \frac{5}{e} (- e)$

Langkah 3.3.1.4

Gabungkan $\frac{5}{e}$ dan $x$ .

$y - 7 = \frac{5 x}{e} + \frac{5}{e} (- e)$

Langkah 3.3.1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $e$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.5.1

Faktorkan $e$ dari $- e$ .

$y - 7 = \frac{5 x}{e} + \frac{5}{e} (e \cdot - 1)$

Langkah 3.3.1.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y - 7 = \frac{5 x}{e} + \frac{5}{e} (e \cdot - 1)$

Langkah 3.3.1.5.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y - 7 = \frac{5 x}{e} + 5 \cdot - 1$

Langkah 3.3.1.6

Kalikan $5$ dengan $- 1$ .

$y - 7 = \frac{5 x}{e} - 5$

Langkah 3.3.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Tambahkan $7$ ke kedua sisi persamaan.

$y = \frac{5 x}{e} - 5 + 7$

Langkah 3.3.2.2

Tambahkan $- 5$ dan $7$ .

$y = \frac{5 x}{e} + 2$

Langkah 3.3.3

Susun kembali suku-suku.

$y = \frac{5}{e} x + 2$

Langkah 4