Kalkulus Contoh

$y = 100 x^{\frac{1}{4}}$

Langkah 1

Tulis $y = 100 x^{\frac{1}{4}}$ sebagai fungsi.

$f (x) = 100 x^{\frac{1}{4}}$

Langkah 2

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Karena $100$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $100 x^{\frac{1}{4}}$ terhadap $x$ adalah $100 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}]$ .

$100 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{4}$ .

$100 (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1})$

Langkah 2.1.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$100 (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Langkah 2.1.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{4}{4}$ .

$100 (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Langkah 2.1.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$100 (\frac{1}{4} x^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}})$

Langkah 2.1.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$100 (\frac{1}{4} x^{\frac{1 - 4}{4}})$

Langkah 2.1.6.2

Kurangi $4$ dengan $1$ .

$100 (\frac{1}{4} x^{\frac{- 3}{4}})$

Langkah 2.1.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$100 (\frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}})$

Langkah 2.1.8

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $x^{- \frac{3}{4}}$ .

$100 \frac{x^{- \frac{3}{4}}}{4}$

Langkah 2.1.9

Gabungkan $100$ dan $\frac{x^{- \frac{3}{4}}}{4}$ .

$\frac{100 x^{- \frac{3}{4}}}{4}$

Langkah 2.1.10

Pindahkan $x^{- \frac{3}{4}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{100}{4 x^{\frac{3}{4}}}$

Langkah 2.1.11

Faktorkan $4$ dari $100$ .

$\frac{4 \cdot 25}{4 x^{\frac{3}{4}}}$

Langkah 2.1.12

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.12.1

Faktorkan $4$ dari $4 x^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{4 \cdot 25}{4 (x^{\frac{3}{4}})}$

Langkah 2.1.12.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 \cdot 25}{4 x^{\frac{3}{4}}}$

Langkah 2.1.12.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (x) = \frac{25}{x^{\frac{3}{4}}}$

Langkah 2.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{25}{x^{\frac{3}{4}}}$ .

$\frac{25}{x^{\frac{3}{4}}}$

Langkah 3

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{25}{x^{\frac{3}{4}}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$\frac{25}{x^{\frac{3}{4}}} = 0$

Langkah 3.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$25 = 0$

Langkah 3.3

Karena $25 \neq 0$ , tidak ada penyelesaian.

Tidak ada penyelesaian

Langkah 4

Tidak ada nilai dari $x$ di domain soal awal yang nilai-turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Tidak ditemukan titik kritis

Langkah 5

Tentukan di mana turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Gunakan rumus $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ untuk menulis kembali eksponensiasi ke dalam bentuk akar.

$\frac{25}{\sqrt[4]{x^{3}}}$

Langkah 5.2

Atur penyebut dalam $\frac{25}{\sqrt[4]{x^{3}}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$\sqrt[4]{x^{3}} = 0$

Langkah 5.3

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Untuk menghapus akar di sisi kiri persamaan, pangkatkan kedua sisi persamaan ke pangkat $4$ .

${\sqrt[4]{x^{3}}}^{4} = 0^{4}$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan setiap sisi persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[4]{x^{3}}$ sebagai $x^{\frac{3}{4}}$ .

${(x^{\frac{3}{4}})}^{4} = 0^{4}$

Langkah 5.3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.2.1

Kalikan eksponen dalam ${(x^{\frac{3}{4}})}^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.2.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{3}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

Langkah 5.3.2.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.2.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{\frac{3}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

Langkah 5.3.2.2.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{3} = 0^{4}$

Langkah 5.3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$x^{3} = 0$

Langkah 5.3.3

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \sqrt[3]{0}$

Langkah 5.3.3.2

Sederhanakan $\sqrt[3]{0}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.2.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Langkah 5.3.3.2.2

Tarik suku-suku keluar dari bawah akar, dengan asumsi bilangan-bilangan riil.

$x = 0$

Langkah 5.4

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt[4]{x^{3}}$ agar lebih kecil dari $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x^{3} < 0$

Langkah 5.5

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi pertidaksamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

Langkah 5.5.2

Sederhanakan persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1.1

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$x < \sqrt[3]{0}$

Langkah 5.5.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.2.1

Sederhanakan $\sqrt[3]{0}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.2.1.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{3}$ .

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

Langkah 5.5.2.2.1.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$x < 0$

Langkah 5.6

Persamaan tidak terdefinisi di mana penyebutnya sama dengan $0$ , argumen dari akar kuadratnya lebih kecil dari $0$ , atau argumen dari logaritmanya lebih kecil dari atau sama dengan $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Langkah 6

Setelah mencari titik yang membuat turunan $f' (x) = \frac{25}{x^{\frac{3}{4}}}$ sama dengan $0$ atau tidak terdefinisi, interval untuk memeriksa di mana $f (x) = 100 x^{\frac{1}{4}}$ meningkat dan di mana menurun yaitu $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, 0)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 1) = \frac{25}{{(- 1)}^{\frac{3}{4}}}$

Langkah 7.2

Jawaban akhirnya adalah $\frac{25}{{(- 1)}^{\frac{3}{4}}}$ .

$\frac{25}{{(- 1)}^{\frac{3}{4}}}$

Langkah 7.3

Pada $x = - 1$ , turunannya adalah $\frac{25}{{(- 1)}^{\frac{3}{4}}}$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- \infty, 0)$ .

Menurun pada $(- \infty, 0)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 8

Substitusikan nilai dari interval $(0, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (1) = \frac{25}{{(1)}^{\frac{3}{4}}}$

Langkah 8.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f' (1) = \frac{25}{1}$

Langkah 8.2.2

Bagilah $25$ dengan $1$ .

$f' (1) = 25$

Langkah 8.2.3

Jawaban akhirnya adalah $25$ .

$25$

Langkah 8.3

Pada $x = 1$ , turunannya adalah $25$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(0, \infty)$ .

Meningkat pada $(0, \infty)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 9

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(0, \infty)$

Menurun pada: $(- \infty, 0)$

Langkah 10