Kalkulus Contoh

$y = \frac{x^{3}}{64} - 3 x$

Langkah 1

Tulis $y = \frac{x^{3}}{64} - 3 x$ sebagai fungsi.

$f (x) = \frac{x^{3}}{64} - 3 x$

Langkah 2

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{x^{3}}{64} - 3 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{64}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{64}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Langkah 2.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{64}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Karena $\frac{1}{64}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x^{3}}{64}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{64} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{64} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Langkah 2.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$\frac{1}{64} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Langkah 2.1.2.3

Gabungkan $3$ dan $\frac{1}{64}$ .

$\frac{3}{64} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Langkah 2.1.2.4

Gabungkan $\frac{3}{64}$ dan $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{64} + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Langkah 2.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3 x$ terhadap $x$ adalah $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 x^{2}}{64} - 3 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{3 x^{2}}{64} - 3 \cdot 1$

Langkah 2.1.3.3

Kalikan $- 3$ dengan $1$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{64} - 3$

Langkah 2.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{3 x^{2}}{64} - 3$ .

$\frac{3 x^{2}}{64} - 3$

Langkah 3

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{3 x^{2}}{64} - 3 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$\frac{3 x^{2}}{64} - 3 = 0$

Langkah 3.2

Tambahkan $3$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{3 x^{2}}{64} = 3$

Langkah 3.3

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $\frac{64}{3}$ .

$\frac{64}{3} \cdot \frac{3 x^{2}}{64} = \frac{64}{3} \cdot 3$

Langkah 3.4

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.1

Sederhanakan $\frac{64}{3} \cdot \frac{3 x^{2}}{64}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.1.1

Gabungkan.

$\frac{64 (3 x^{2})}{3 \cdot 64} = \frac{64}{3} \cdot 3$

Langkah 3.4.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $64$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{64 (3 x^{2})}{3 \cdot 64} = \frac{64}{3} \cdot 3$

Langkah 3.4.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{64}{3} \cdot 3$

Langkah 3.4.1.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{64}{3} \cdot 3$

Langkah 3.4.1.1.3.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} = \frac{64}{3} \cdot 3$

Langkah 3.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{2} = \frac{64}{3} \cdot 3$

Langkah 3.4.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{2} = 64$

Langkah 3.5

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{64}$

Langkah 3.6

Sederhanakan $\pm \sqrt{64}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Tulis kembali $64$ sebagai $8^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{8^{2}}$

Langkah 3.6.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm 8$

Langkah 3.7

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = 8$

Langkah 3.7.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - 8$

Langkah 3.7.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = 8, - 8$

Langkah 4

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $8, - 8$ .

$8, - 8$

Langkah 5

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang menjadikan turunan $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, - 8) \cup (- 8, 8) \cup (8, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, - 8)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 9$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 9) = \frac{3 {(- 9)}^{2}}{64} - 3$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Naikkan $- 9$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 9) = \frac{3 \cdot 81}{64} - 3$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan $3$ dengan $81$ .

$f' (- 9) = \frac{243}{64} - 3$

Langkah 6.2.2

Untuk menuliskan $- 3$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{64}{64}$ .

$f' (- 9) = \frac{243}{64} - 3 \cdot \frac{64}{64}$

Langkah 6.2.3

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{64}{64}$ .

$f' (- 9) = \frac{243}{64} + \frac{- 3 \cdot 64}{64}$

Langkah 6.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (- 9) = \frac{243 - 3 \cdot 64}{64}$

Langkah 6.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.5.1

Kalikan $- 3$ dengan $64$ .

$f' (- 9) = \frac{243 - 192}{64}$

Langkah 6.2.5.2

Kurangi $192$ dengan $243$ .

$f' (- 9) = \frac{51}{64}$

Langkah 6.2.6

Jawaban akhirnya adalah $\frac{51}{64}$ .

$\frac{51}{64}$

Langkah 6.3

Pada $x = - 9$ , turunannya adalah $\frac{51}{64}$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(- \infty, - 8)$ .

Meningkat pada $(- \infty, - 8)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(- 8, 8)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f' (0) = \frac{3 {(0)}^{2}}{64} - 3$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f' (0) = \frac{3 \cdot 0}{64} - 3$

Langkah 7.2.1.2

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$f' (0) = \frac{0}{64} - 3$

Langkah 7.2.1.3

Bagilah $0$ dengan $64$ .

$f' (0) = 0 - 3$

Langkah 7.2.2

Kurangi $3$ dengan $0$ .

$f' (0) = - 3$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 3$ .

$- 3$

Langkah 7.3

Pada $x = 0$ , turunannya adalah $- 3$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- 8, 8)$ .

Menurun pada $(- 8, 8)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 8

Substitusikan nilai dari interval $(8, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Ganti variabel $x$ dengan $9$ pada pernyataan tersebut.

$f' (9) = \frac{3 {(9)}^{2}}{64} - 3$

Langkah 8.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1.1

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$f' (9) = \frac{3 \cdot {(3^{2})}^{2}}{64} - 3$

Langkah 8.2.1.1.2

Kalikan eksponen dalam ${(3^{2})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (9) = \frac{3 \cdot 3^{2 \cdot 2}}{64} - 3$

Langkah 8.2.1.1.2.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$f' (9) = \frac{3 \cdot 3^{4}}{64} - 3$

Langkah 8.2.1.1.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f' (9) = \frac{3^{1 + 4}}{64} - 3$

Langkah 8.2.1.1.4

Tambahkan $1$ dan $4$ .

$f' (9) = \frac{3^{5}}{64} - 3$

Langkah 8.2.1.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $5$ .

$f' (9) = \frac{243}{64} - 3$

Langkah 8.2.2

Untuk menuliskan $- 3$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{64}{64}$ .

$f' (9) = \frac{243}{64} - 3 \cdot \frac{64}{64}$

Langkah 8.2.3

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{64}{64}$ .

$f' (9) = \frac{243}{64} + \frac{- 3 \cdot 64}{64}$

Langkah 8.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (9) = \frac{243 - 3 \cdot 64}{64}$

Langkah 8.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.5.1

Kalikan $- 3$ dengan $64$ .

$f' (9) = \frac{243 - 192}{64}$

Langkah 8.2.5.2

Kurangi $192$ dengan $243$ .

$f' (9) = \frac{51}{64}$

Langkah 8.2.6

Jawaban akhirnya adalah $\frac{51}{64}$ .

$\frac{51}{64}$

Langkah 8.3

Pada $x = 9$ , turunannya adalah $\frac{51}{64}$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(8, \infty)$ .

Meningkat pada $(8, \infty)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 9

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(- \infty, - 8), (8, \infty)$

Menurun pada: $(- 8, 8)$

Langkah 10