Kalkulus Contoh

$\sec (\sin^{-1} (u))$

Langkah 1

Gambar sebuah segitiga pada bidang datar dengan sudut $(\sqrt{1^{2} - u^{2}}, u)$ , $(\sqrt{1^{2} - u^{2}}, 0)$ , dan titik asal. Kemudian $\sin^{-1} (u)$ adalah sudut antara sumbu x positif dan sinar garis yang berawal dari titik asal, serta melewati $(\sqrt{1^{2} - u^{2}}, u)$ . Oleh karena itu, $\sec (\sin^{-1} (u))$ adalah $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$

Langkah 2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}}$

Langkah 2.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = 1$ dan $b = u$ .

$\frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

Langkah 3

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ dengan $\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

Langkah 4

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ dengan $\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

Langkah 4.2

Naikkan $\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{1} \sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

Langkah 4.3

Naikkan $\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{1} {\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{1}}$

Langkah 4.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{1 + 1}}$

Langkah 4.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{2}}$

Langkah 4.6

Tulis kembali ${\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{2}$ sebagai $(1 + u) (1 - u)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ sebagai ${((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{({((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 4.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 4.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 4.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 4.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{((1 + u) (1 - u))}^{1}}$

Langkah 4.6.5

Sederhanakan.

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}$

Langkah 5

Ini adalah bentuk trigonometri dari bilangan kompleks di mana $| z |$ adalah modulusnya dan $θ$ adalah sudut yang dibuat di bidang kompleks.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Langkah 6

Modulus bilangan kompleks adalah jarak dari asal pada bidang kompleks.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ di mana $z = a + b i$

Langkah 7

Substitusikan nilai-nilai aktual dari $a = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}$ dan $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)})}^{2}}$

Langkah 8

Temukan $| z |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)})}^{2}}$

Langkah 8.2

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{2}}{{((1 + u) (1 - u))}^{2}}}$

Langkah 8.2.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $(1 + u) (1 - u)$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{2}}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Langkah 8.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Tulis kembali ${\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{2}$ sebagai $(1 + u) (1 - u)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ sebagai ${((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{({((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Langkah 8.3.1.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Langkah 8.3.1.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{2}{2}}}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Langkah 8.3.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{2}{2}}}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Langkah 8.3.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{(1 + u) (1 - u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Langkah 8.3.1.5

Sederhanakan.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{(1 + u) (1 - u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Langkah 8.3.2

Perluas $(1 + u) (1 - u)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1

Terapkan sifat distributif.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 (1 - u) + u (1 - u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Langkah 8.3.2.2

Terapkan sifat distributif.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 \cdot 1 + 1 (- u) + u (1 - u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Langkah 8.3.2.3

Terapkan sifat distributif.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 \cdot 1 + 1 (- u) + u \cdot 1 + u (- u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Langkah 8.3.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.3.1.1

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 + 1 (- u) + u \cdot 1 + u (- u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Langkah 8.3.3.1.2

Kalikan $- u$ dengan $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 - u + u \cdot 1 + u (- u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Langkah 8.3.3.1.3

Kalikan $u$ dengan $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 - u + u + u (- u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Langkah 8.3.3.1.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 - u + u - u \cdot u}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Langkah 8.3.3.1.5

Kalikan $u$ dengan $u$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.3.1.5.1

Pindahkan $u$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 - u + u - (u \cdot u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Langkah 8.3.3.1.5.2

Kalikan $u$ dengan $u$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 - u + u - u^{2}}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Langkah 8.3.3.2

Tambahkan $- u$ dan $u$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 + 0 - u^{2}}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Langkah 8.3.3.3

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 - u^{2}}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Langkah 8.3.4

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1^{2} - u^{2}}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Langkah 8.3.5

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = 1$ dan $b = u$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{(1 + u) (1 - u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Langkah 8.4

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1

Faktorkan $1 + u$ dari ${(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{(1 + u) (1 - u)}{(1 + u) ((1 + u) {(1 - u)}^{2})}}$

Langkah 8.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{(1 + u) (1 - u)}{(1 + u) ((1 + u) {(1 - u)}^{2})}}$

Langkah 8.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 - u}{(1 + u) {(1 - u)}^{2}}}$

Langkah 8.5

Hapus faktor persekutuan dari $1 - u$ dan ${(1 - u)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.5.1

Kalikan dengan $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{(1 - u) \cdot 1}{(1 + u) {(1 - u)}^{2}}}$

Langkah 8.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.5.2.1

Faktorkan $1 - u$ dari $(1 + u) {(1 - u)}^{2}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{(1 - u) \cdot 1}{(1 - u) ((1 + u) (1 - u))}}$

Langkah 8.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{(1 - u) \cdot 1}{(1 - u) ((1 + u) (1 - u))}}$

Langkah 8.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1}{(1 + u) (1 - u)}}$

Langkah 8.6

Tambahkan $0$ dan $\frac{1}{(1 + u) (1 - u)}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{(1 + u) (1 - u)}}$

Langkah 8.7

Tulis kembali $\sqrt{\frac{1}{(1 + u) (1 - u)}}$ sebagai $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

Langkah 8.8

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$| z | = \frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

Langkah 8.9

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ dengan $\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ .

$| z | = \frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

Langkah 8.10

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.10.1

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ dengan $\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

Langkah 8.10.2

Naikkan $\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ menjadi pangkat $1$ .

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

Langkah 8.10.3

Naikkan $\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ menjadi pangkat $1$ .

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

Langkah 8.10.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{1 + 1}}$

Langkah 8.10.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{2}}$

Langkah 8.10.6

Tulis kembali ${\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{2}$ sebagai $(1 + u) (1 - u)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.10.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ sebagai ${((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{({((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 8.10.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 8.10.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 8.10.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.10.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 8.10.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}$

Langkah 8.10.6.5

Sederhanakan.

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}$

Langkah 9

Sudut dari titik pada bidang kompleks adalah tangen balikan dari bagian kompleks per bagian riil.

$θ = \tan^{-1} (\frac{0}{\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}})$

Langkah 10

Substitusikan nilai-nilai dari $θ = \tan^{-1} (\frac{0}{\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}})$ dan $| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u) (\cos (\tan^{-1} (\frac{0}{\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}})) + i \sin (\tan^{-1} (\frac{0}{\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}})))}$