Kalkulus Contoh

$\frac{3 x^{2} + 2 x - 1}{3 x^{2} - 12 x - 96} \geq 0$

Langkah 1

Tentukan semua nilai di mana ungkapan berbalik dari negatif ke positif dengan mengatur setiap faktor agar sama dengan $0$ dan menyelesaikannya.

$3 x^{2} + 2 x - 1 = 0$

$3 x^{2} - 12 x - 96 = 0$

Langkah 2

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3$ dan yang jumlahnya adalah $b = 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Faktorkan $2$ dari $2 x$ .

$3 x^{2} + 2 (x) - 1 = 0$

Langkah 2.1.2

Tulis kembali $2$ sebagai $- 1$ ditambah $3$

$3 x^{2} + (- 1 + 3) x - 1 = 0$

Langkah 2.1.3

Terapkan sifat distributif.

$3 x^{2} - 1 x + 3 x - 1 = 0$

Langkah 2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$(3 x^{2} - 1 x) + 3 x - 1 = 0$

Langkah 2.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$x (3 x - 1) + 1 (3 x - 1) = 0$

Langkah 2.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $3 x - 1$ .

$(3 x - 1) (x + 1) = 0$

Langkah 3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

Langkah 4

Atur $3 x - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Atur $3 x - 1$ sama dengan $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Langkah 4.2

Selesaikan $3 x - 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$3 x = 1$

Langkah 4.2.2

Bagi setiap suku pada $3 x = 1$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Bagilah setiap suku di $3 x = 1$ dengan $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Langkah 4.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Langkah 4.2.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Langkah 5

Atur $x + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Atur $x + 1$ sama dengan $0$ .

$x + 1 = 0$

Langkah 5.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 1$

Langkah 6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(3 x - 1) (x + 1) = 0$ benar.

$x = \frac{1}{3}, - 1$

Langkah 7

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Faktorkan $3$ dari $3 x^{2} - 12 x - 96$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Faktorkan $3$ dari $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 12 x - 96 = 0$

Langkah 7.1.2

Faktorkan $3$ dari $- 12 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- 4 x) - 96 = 0$

Langkah 7.1.3

Faktorkan $3$ dari $- 96$ .

$3 x^{2} + 3 (- 4 x) + 3 \cdot - 32 = 0$

Langkah 7.1.4

Faktorkan $3$ dari $3 x^{2} + 3 (- 4 x)$ .

$3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot - 32 = 0$

Langkah 7.1.5

Faktorkan $3$ dari $3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot - 32$ .

$3 (x^{2} - 4 x - 32) = 0$

Langkah 7.2

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Faktorkan $x^{2} - 4 x - 32$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $- 32$ dan jumlahnya $- 4$ .

$- 8, 4$

Langkah 7.2.1.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$3 ((x - 8) (x + 4)) = 0$

Langkah 7.2.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$3 (x - 8) (x + 4) = 0$

Langkah 8

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x - 8 = 0$

$x + 4 = 0$

Langkah 9

Atur $x - 8$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Atur $x - 8$ sama dengan $0$ .

$x - 8 = 0$

Langkah 9.2

Tambahkan $8$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 8$

Langkah 10

Atur $x + 4$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Atur $x + 4$ sama dengan $0$ .

$x + 4 = 0$

Langkah 10.2

Kurangkan $4$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 4$

Langkah 11

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $3 (x - 8) (x + 4) = 0$ benar.

$x = 8, - 4$

Langkah 12

Selesaikan setiap faktor untuk menemukan nilai di mana pernyataan nilai mutlaknya berubah dari negatif ke positif.

$x = \frac{1}{3}, - 1$

$x = 8, - 4$

Langkah 13

Gabungkan penyelesaiannya.

$x = \frac{1}{3}, - 1, 8, - 4$

Langkah 14

Tentukan domain dari $\frac{3 x^{2} + 2 x - 1}{3 x^{2} - 12 x - 96}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Atur penyebut dalam $\frac{3 x^{2} + 2 x - 1}{3 x^{2} - 12 x - 96}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$3 x^{2} - 12 x - 96 = 0$

Langkah 14.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1.1

Faktorkan $3$ dari $3 x^{2} - 12 x - 96$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1.1.1

Faktorkan $3$ dari $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 12 x - 96 = 0$

Langkah 14.2.1.1.2

Faktorkan $3$ dari $- 12 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- 4 x) - 96 = 0$

Langkah 14.2.1.1.3

Faktorkan $3$ dari $- 96$ .

$3 x^{2} + 3 (- 4 x) + 3 \cdot - 32 = 0$

Langkah 14.2.1.1.4

Faktorkan $3$ dari $3 x^{2} + 3 (- 4 x)$ .

$3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot - 32 = 0$

Langkah 14.2.1.1.5

Faktorkan $3$ dari $3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot - 32$ .

$3 (x^{2} - 4 x - 32) = 0$

Langkah 14.2.1.2

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1.2.1

Faktorkan $x^{2} - 4 x - 32$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1.2.1.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $- 32$ dan jumlahnya $- 4$ .

$- 8, 4$

Langkah 14.2.1.2.1.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$3 ((x - 8) (x + 4)) = 0$

Langkah 14.2.1.2.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$3 (x - 8) (x + 4) = 0$

Langkah 14.2.2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x - 8 = 0$

$x + 4 = 0$

Langkah 14.2.3

Atur $x - 8$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.3.1

Atur $x - 8$ sama dengan $0$ .

$x - 8 = 0$

Langkah 14.2.3.2

Tambahkan $8$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 8$

Langkah 14.2.4

Atur $x + 4$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.4.1

Atur $x + 4$ sama dengan $0$ .

$x + 4 = 0$

Langkah 14.2.4.2

Kurangkan $4$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 4$

Langkah 14.2.5

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $3 (x - 8) (x + 4) = 0$ benar.

$x = 8, - 4$

Langkah 14.3

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 8) \cup (8, \infty)$

Langkah 15

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$x < - 4$

$- 4 < x < - 1$

$- 1 < x < \frac{1}{3}$

$\frac{1}{3} < x < 8$

$x > 8$

Langkah 16

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Uji nilai pada interval $x < - 4$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1.1

Pilih nilai pada interval $x < - 4$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 6$

Langkah 16.1.2

Ganti $x$ dengan $- 6$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{3 {(- 6)}^{2} + 2 (- 6) - 1}{3 {(- 6)}^{2} - 12 \cdot - 6 - 96} \geq 0$

Langkah 16.1.3

Sisi kiri $1.13095238$ lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 16.2

Uji nilai pada interval $- 4 < x < - 1$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.2.1

Pilih nilai pada interval $- 4 < x < - 1$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 2$

Langkah 16.2.2

Ganti $x$ dengan $- 2$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{3 {(- 2)}^{2} + 2 (- 2) - 1}{3 {(- 2)}^{2} - 12 \cdot - 2 - 96} \geq 0$

Langkah 16.2.3

Sisi kiri $- 0.11\overline{6}$ lebih kecil dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 16.3

Uji nilai pada interval $- 1 < x < \frac{1}{3}$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.3.1

Pilih nilai pada interval $- 1 < x < \frac{1}{3}$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 0$

Langkah 16.3.2

Ganti $x$ dengan $0$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{3 {(0)}^{2} + 2 (0) - 1}{3 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 - 96} \geq 0$

Langkah 16.3.3

Sisi kiri $0.01041\overline{6}$ lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 16.4

Uji nilai pada interval $\frac{1}{3} < x < 8$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.4.1

Pilih nilai pada interval $\frac{1}{3} < x < 8$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 4$

Langkah 16.4.2

Ganti $x$ dengan $4$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{3 {(4)}^{2} + 2 (4) - 1}{3 {(4)}^{2} - 12 \cdot 4 - 96} \geq 0$

Langkah 16.4.3

Sisi kiri $- 0.57291\overline{6}$ lebih kecil dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 16.5

Uji nilai pada interval $x > 8$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.5.1

Pilih nilai pada interval $x > 8$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 10$

Langkah 16.5.2

Ganti $x$ dengan $10$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{3 {(10)}^{2} + 2 (10) - 1}{3 {(10)}^{2} - 12 \cdot 10 - 96} \geq 0$

Langkah 16.5.3

Sisi kiri $3.79761904$ lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 16.6

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$x < - 4$ Benar

$- 4 < x < - 1$ Salah

$- 1 < x < \frac{1}{3}$ Benar

$\frac{1}{3} < x < 8$ Salah

$x > 8$ Benar

$x < - 4$ Benar

$- 4 < x < - 1$ Salah

$- 1 < x < \frac{1}{3}$ Benar

$\frac{1}{3} < x < 8$ Salah

$x > 8$ Benar

Langkah 17

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$x < - 4$ atau $- 1 \leq x \leq \frac{1}{3}$ atau $x > 8$

Langkah 18

Konversikan pertidaksamaan ke notasi interval.

$(- \infty, - 4) \cup [- 1, \frac{1}{3}] \cup (8, \infty)$

Langkah 19