Kalkulus Contoh

$\int_{- \infty}^{\infty} x e^{- x^{2}} d x$

Langkah 1

Pisahkan integral pada $0$ dan tulis sebagai jumlah dari limit-limit.

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} x e^{- x^{2}} d x + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{- x^{2}} d x$

Langkah 2

Biarkan $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Kemudian $d u_{2} = - 2 x e^{- x^{2}} d x$ sehingga $- \frac{1}{2} d u_{2} = x e^{- x^{2}} d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Biarkan $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan $e^{- x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = - x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $- x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 2.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ adalah $a^{u_{1}} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 2.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $- x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 2.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 2.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$e^{- x^{2}} (- (2 x))$

Langkah 2.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Langkah 2.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.1

Susun kembali faktor-faktor dari $e^{- x^{2}} (- 2 x)$ .

$- 2 e^{- x^{2}} x$

Langkah 2.1.4.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $- 2 e^{- x^{2}} x$ .

$- 2 x e^{- x^{2}}$

Langkah 2.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u_{2} = e^{- x^{2}}$ .

$u_{lower} = e^{- t^{2}}$

Langkah 2.3

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u_{2} = e^{- x^{2}}$ .

$u_{upper} = e^{- 0^{2}}$

Langkah 2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$u_{upper} = e^{- 0}$

Langkah 2.4.2

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$u_{upper} = e^{0}$

Langkah 2.4.3

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$u_{upper} = 1$

Langkah 2.5

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = e^{- t^{2}}$

$u_{upper} = 1$

Langkah 2.6

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ , $d u_{2}$ , dan batas integral yang baru.

$lim_{t \to - \infty} \int_{e^{- t^{2}}}^{1} \frac{1}{- 2} d u_{2} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{- x^{2}} d x$

Langkah 3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$lim_{t \to - \infty} \int_{e^{- t^{2}}}^{1} - \frac{1}{2} d u_{2} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{- x^{2}} d x$

Langkah 4

Terapkan aturan konstanta.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} u_{2}]_{e^{- t^{2}}}^{1} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{- x^{2}} d x$

Langkah 5

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Evaluasi $- \frac{1}{2} u_{2}$ pada $1$ dan pada $e^{- t^{2}}$ .

$lim_{t \to - \infty} (- \frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} e^{- t^{2}} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{- x^{2}} d x$

Langkah 5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} e^{- t^{2}} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{- x^{2}} d x$

Langkah 5.2.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $e^{- t^{2}}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{- x^{2}} d x$

Langkah 6

Biarkan $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Kemudian $d u_{2} = - 2 x e^{- x^{2}} d x$ sehingga $- \frac{1}{2} d u_{2} = x e^{- x^{2}} d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Biarkan $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Diferensialkan $e^{- x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Langkah 6.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = - x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $- x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 6.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ adalah $a^{u_{1}} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 6.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $- x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 6.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 6.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$e^{- x^{2}} (- (2 x))$

Langkah 6.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Langkah 6.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.4.1

Susun kembali faktor-faktor dari $e^{- x^{2}} (- 2 x)$ .

$- 2 e^{- x^{2}} x$

Langkah 6.1.4.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $- 2 e^{- x^{2}} x$ .

$- 2 x e^{- x^{2}}$

Langkah 6.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u_{2} = e^{- x^{2}}$ .

$u_{lower} = e^{- 0^{2}}$

Langkah 6.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$u_{lower} = e^{- 0}$

Langkah 6.3.2

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$u_{lower} = e^{0}$

Langkah 6.3.3

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$u_{lower} = 1$

Langkah 6.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u_{2} = e^{- x^{2}}$ .

$u_{upper} = e^{- t^{2}}$

Langkah 6.5

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = e^{- t^{2}}$

Langkah 6.6

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ , $d u_{2}$ , dan batas integral yang baru.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{1}^{e^{- t^{2}}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Langkah 7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{1}^{e^{- t^{2}}} - \frac{1}{2} d u_{2}$

Langkah 8

Terapkan aturan konstanta.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{1}{2} u_{2}]_{1}^{e^{- t^{2}}}$

Langkah 9

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Evaluasi $- \frac{1}{2} u_{2}$ pada $e^{- t^{2}}$ dan pada $1$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} (- \frac{1}{2} e^{- t^{2}}) + \frac{1}{2} \cdot 1$

Langkah 9.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Gabungkan $e^{- t^{2}}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1$

Langkah 9.2.2

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $1$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2}$

Langkah 10

Evaluasi limit-limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Gabungkan pecahan-pecahan menggunakan penyebut persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$lim_{t \to - \infty} \frac{- 1 + e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2}$

Langkah 10.1.2

Tulis kembali $- 1$ sebagai $- 1 (1)$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{- 1 (1) + e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2}$

Langkah 10.1.3

Faktorkan $- 1$ dari $e^{- t^{2}}$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{- 1 (1) - 1 (- e^{- t^{2}})}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2}$

Langkah 10.1.4

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 (1) - 1 (- e^{- t^{2}})$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{- 1 (1 - e^{- t^{2}})}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2}$

Langkah 10.1.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1 - e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2}$

Langkah 10.2

Gabungkan pecahan-pecahan menggunakan penyebut persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1 - e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \frac{- e^{- t^{2}} + 1}{2}$

Langkah 10.2.2

Faktorkan $- 1$ dari $- e^{- t^{2}}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1 - e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \frac{- (e^{- t^{2}}) + 1}{2}$

Langkah 10.2.3

Tulis kembali $1$ sebagai $- 1 (- 1)$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1 - e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \frac{- (e^{- t^{2}}) - 1 (- 1)}{2}$

Langkah 10.2.4

Faktorkan $- 1$ dari $- (e^{- t^{2}}) - 1 (- 1)$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1 - e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \frac{- (e^{- t^{2}} - 1)}{2}$

Langkah 10.2.5

Tulis kembali $- (e^{- t^{2}} - 1)$ sebagai $- 1 (e^{- t^{2}} - 1)$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1 - e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \frac{- 1 (e^{- t^{2}} - 1)}{2}$

Langkah 10.2.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1 - e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}} - 1}{2}$

Langkah 10.3

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1

Pindahkan suku $- 1$ ke luar limit karena konstan terhadap $t$ .

$- lim_{t \to - \infty} \frac{1 - e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}} - 1}{2}$

Langkah 10.3.2

Pindahkan suku $\frac{1}{2}$ ke luar limit karena konstan terhadap $t$ .

$- \frac{1}{2} lim_{t \to - \infty} 1 - e^{- t^{2}} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}} - 1}{2}$

Langkah 10.3.3

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $t$ mendekati $- \infty$ .

$- \frac{1}{2} (lim_{t \to - \infty} 1 - lim_{t \to - \infty} e^{- t^{2}}) + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}} - 1}{2}$

Langkah 10.3.4

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $- \infty$ .

$- \frac{1}{2} (1 - lim_{t \to - \infty} e^{- t^{2}}) + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}} - 1}{2}$

Langkah 10.4

Karena eksponen $- t^{2}$ mendekati $- \infty$ , jumlah $e^{- t^{2}}$ mendekati $0$ .

$- \frac{1}{2} (1 - 0) + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}} - 1}{2}$

Langkah 10.5

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.1

Pindahkan suku $- 1$ ke luar limit karena konstan terhadap $t$ .

$- \frac{1}{2} (1 - 0) - lim_{t \to \infty} \frac{e^{- t^{2}} - 1}{2}$

Langkah 10.5.2

Pindahkan suku $\frac{1}{2}$ ke luar limit karena konstan terhadap $t$ .

$- \frac{1}{2} (1 - 0) - \frac{1}{2} lim_{t \to \infty} e^{- t^{2}} - 1$

Langkah 10.5.3

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $t$ mendekati $\infty$ .

$- \frac{1}{2} (1 - 0) - \frac{1}{2} (lim_{t \to \infty} e^{- t^{2}} - lim_{t \to \infty} 1)$

Langkah 10.6

Karena eksponen $- t^{2}$ mendekati $- \infty$ , jumlah $e^{- t^{2}}$ mendekati $0$ .

$- \frac{1}{2} (1 - 0) - \frac{1}{2} (0 - lim_{t \to \infty} 1)$

Langkah 10.7

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.7.1

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$- \frac{1}{2} (1 - 0) - \frac{1}{2} (0 - 1 \cdot 1)$

Langkah 10.7.2

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.7.2.1.1

Kurangi $0$ dengan $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} (0 - 1 \cdot 1)$

Langkah 10.7.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} (0 - 1 \cdot 1)$

Langkah 10.7.2.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} (0 - 1)$

Langkah 10.7.2.1.4

Kurangi $1$ dengan $0$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot - 1$

Langkah 10.7.2.1.5

Kalikan $- \frac{1}{2} \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.7.2.1.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$- \frac{1}{2} + 1 (\frac{1}{2})$

Langkah 10.7.2.1.5.2

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $1$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

Langkah 10.7.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- 1 + 1}{2}$

Langkah 10.7.2.3

Tambahkan $- 1$ dan $1$ .

$\frac{0}{2}$

Langkah 10.7.2.4

Bagilah $0$ dengan $2$ .

$0$