Kalkulus Contoh

$\int \frac{x + 5}{\sqrt{9 - {(x - 3)}^{2}}} d x$

Langkah 1

Biarkan $u = x - 3$ . Kemudian $d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = x - 3$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

Langkah 1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 3$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Langkah 1.1.4

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 1.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int \frac{u + 3 + 5}{\sqrt{9 - u^{2}}} d u$

Langkah 2

Tambahkan $3$ dan $5$ .

$\int \frac{u + 8}{\sqrt{9 - u^{2}}} d u$

Langkah 3

Biarkan $u = 3 \sin (t)$ , di mana $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Kemudian $d u = 3 \cos (t) d t$ . Perhatikan bahwa karena $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $3 \cos (t)$ positif.

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}} (3 \cos (t)) d t$

Langkah 4

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan $\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $3 \sin (t)$ .

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{9 - (3^{2} \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

Langkah 4.1.1.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{9 - (9 \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

Langkah 4.1.1.3

Kalikan $9$ dengan $- 1$ .

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t$

Langkah 4.1.2

Faktorkan $9$ dari $9$ .

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t$

Langkah 4.1.3

Faktorkan $9$ dari $- 9 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

Langkah 4.1.4

Faktorkan $9$ dari $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

Langkah 4.1.5

Terapkan identitas pythagoras.

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{9 \cos^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t$

Langkah 4.1.6

Tulis kembali $9 \cos^{2} (t)$ sebagai ${(3 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}}} (3 \cos (t)) d t$

Langkah 4.1.7

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{3 \cos (t)} (3 \cos (t)) d t$

Langkah 4.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3 \cos (t)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{3 \cos (t)} (3 \cos (t)) d t$

Langkah 4.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\int 3 \sin (t) + 8 d t$

Langkah 5

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int 3 \sin (t) d t + \int 8 d t$

Langkah 6

Karena $3$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$3 \int \sin (t) d t + \int 8 d t$

Langkah 7

Integral dari $\sin (t)$ terhadap $t$ adalah $- \cos (t)$ .

$3 (- \cos (t) + C) + \int 8 d t$

Langkah 8

Terapkan aturan konstanta.

$3 (- \cos (t) + C) + 8 t + C$

Langkah 9

Sederhanakan.

$- 3 \cos (t) + 8 t + C$

Langkah 10

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Ganti semua kemunculan $t$ dengan $\arcsin (\frac{u}{3})$ .

$- 3 \cos (\arcsin (\frac{u}{3})) + 8 \arcsin (\frac{u}{3}) + C$

Langkah 10.2

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x - 3$ .

$- 3 \cos (\arcsin (\frac{x - 3}{3})) + 8 \arcsin (\frac{x - 3}{3}) + C$

Langkah 11

Susun kembali suku-suku.

$- 3 \cos (\arcsin (\frac{1}{3} (x - 3))) + 8 \arcsin (\frac{1}{3} (x - 3)) + C$